Escuché que$\Bbb R$ y$\Bbb C$ son los únicos campos conectados, localmente compactos. ¿Alguien sabe una prueba para este resultado?
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Lubin
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Tenemos que ser cuidadosos, ya que los campos con la topología discreta son también localmente compacto! Conceptualmente, la prueba de que la única nondiscrete localmente compacto campos son del tipo mencionado en los comentarios no es difícil, por lo que recuerdo (pero mi memoria no es fiable). El uso de una medida de Haar en el localmente compacto grupo multiplicativo del campo. Esta medida es única, hasta un multiplicativo constante, vamos a llamar a $\mu$. Ahora tome un conjunto compacto con un valor distinto de cero de la medida, se $X$. Deje $\alpha$ ser un elemento distinto de cero en el campo, y compare $\mu(X)$$\mu'(X)=\mu(\alpha X)$. Aquí, $\mu$ $\mu'$ ambos son Haar medidas, y por tanto deben ser relacionadas por un real positivo constante, que podemos llamar de $|\alpha|$. Esta asociación, $\alpha\mapsto|\alpha|$, no depende de la elección de $X$ ni en la elección original de $\mu$, y usted tiene que verificar que es un valor absoluto (o casi), y ahora el resto de los detalles se me escapan. Pero Weil comienza su libro "Básicos de la Teoría de los números" con este tema, usted puede encontrar allí.
La afirmación parece ser un corolario del Teorema 21 del libro de Lev Pontrjagin "Grupos continuos". Desafortunadamente, solo tengo una versión en ruso . Pero este libro es clásico, por lo que debe tener una traducción al inglés.
