Larga expansión polinómica con 34 raíces

Question

Este es un problema difícil, sólo necesito un par de consejos. Creo que el $(-x^{17})$ también está allí por un determinado truco. En la final si es $ax^{17}$, veo que $a = 17 - 1 + 1 = 17$.

También, otro posible enfoque es:

$$(1 + x + \cdots + x^{17})^2 = x^{17}$$

$$1 + x + \cdots + x^{17} = x^{17/2}$$

Pero eso no hace mucho. Sólo sugerencias por favor!

ACTUALIZACIÓN:

$$P(x)=0\implies x\ne 1.$$

Por la serie geométrica de la fórmula esto cambia a:

$$\left(\sum_{n=0}^{17} x^n \right)^2 = x^{17} \text{ where } |x| < 1.$$

$$ \left( \frac{1 - x^{18}}{1-x} \right)^2 = x^{17}.$$

$$(1 - x^{18})^2 = (1-x)^2(x^{17}) = x^{19} - 2x^{18} + x^{17}.$$

$$x^{36} - 2x^{18} + 1 = x^{19} - 2x^{18} + x^{17}.$$

$$x^{36} - x^{19} - x^{17} + 1 = 0.$$

$$x^{19}(x^{17} - 1) - (x^{17} - 1) = 0.$$

$$(x^{19} - 1)(x^{17} - 1) = 0.$$

Con cero prod. la propiedad, tenemos que usar las raíces de la unidad.

$$x^{19} = 1 = e^{2\pi i*k}.$$

$$1\ne x = e^{2\pi i \cdot k/19}.$$

$$1\ne x = e^{2\pi i \cdot k/17} \space \text{for the other case}.$$

el más pequeño de la raíz obviamente es $a_1 = 1/19, a_2 = 1/17, a_3 = 2/19, a_4 = 2/17, a_5 = 3/19$.

$$\sum a_k = \frac{6}{19} + \frac{3}{17} = \frac{102 + 57}{323} = \frac{159}{323} = \frac{m}{n}$$

$m + n = 482$.

Answer 1

De la actualización a la pregunta:

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El valor de$|z_k| < 1$, porque$(1 + x + ... + x^{17})^2 > x^{17}$.

Por la fórmula de serie geométrica esto cambia a:

ps

ps

ps

ps

ps

ps

ps

Con cero prod. propiedad, tenemos que usar las raíces de la unidad.

ps

ps

ps

la raíz más pequeña obviamente es$$\left(\sum_{n=0}^{17} x^n \right)^2 = x^{17} \space \text{where} \space |x| < 1$.

ps

$$ \left( \frac{1 - x^{18}}{1-x} \right)^2 = x^{17}$.