Pentágono regular de un papel cuadrado

Question

He encontrado esta página con instrucciones para crear un pentágono de un cuadrado de papel:

• Dobla el cuadrado por la mitad para crear un rectángulo

• Marca la mitad en el lado derecho:

• Marca la mitad en el lado de abajo:

• Pliegue de la marca más baja haciendo que el derecho de marca sobre la parte superior de la línea:

• Continuar plegable siguientes diagramas:

• Pliegue para crear un ángulo de 90° y de corte sobre esta línea:

Y usted tiene un pentágono regular:

Plegable de la marca inferior, y la coincidencia de la derecha marca con la parte superior de la línea parece ser la parte más importante, por la creación de los ángulos necesarios para la construcción. Este redil me recuerda a la de origami trisection.

Creo que esto no es una aproximación, pero un perfecto pentágono regular. Cómo puede demostrar que los ángulos en esta construcción son los de un pentágono regular?

Answer 1

Esto no produce un perfecto pentágono. En el derecho triángulo en la esquina inferior derecha del rectángulo, llamada el ángulo menor $\alpha$ y el mayor ángulo de $\beta$. Cuando pliegue de valle en$\heartsuit-\diamondsuit$, de modo que las estrellas coinciden, esto crea los ángulos indicados a continuación.

Aquí es cómo se ve después de que el pliegue de valle:

El siguiente paso (el pliegue de montaña) esconde el ángulo de $\beta-\alpha$ detrás del resto del papel. El pliegue de valle, que se indica a continuación se biseca el ángulo de $\alpha + 45^\circ$. Así que cuando el origami es completar los pliegues que has hecho crearán cinco ángulos en un medio círculo: uno con la medida $\beta-\alpha$ y cuatro con medida $\frac12(\alpha + 45^\circ)$.

En un perfecto pentágono, estos ángulos serían todos iguales, es decir, $$ \beta \alpha = \estilo de texto\frac12(\alpha + 45^\circ). $$ La solución de este, sabiendo que $\alpha + \beta=90^\circ$, esto significa que en un pentágono regular debemos tener $\alpha=27^\circ$$\beta=63^\circ$. En particular, esto requiere $$ \tan\alpha=\tan(27^\circ) \aprox 0.5095.$$ Pero para la publicidad de la construcción, tenemos $\tan\alpha = 0.5$. Cerca, pero no exacto!