Probar

Question

Permita que$W\left( x\right) \ge 0$ for$x \in \mathbb{R}$ sea un polinomio. Probar$$u\left( x\right)=W\left( x\right)+W'\left( x\right)+W''\left( x\right)+ \cdots \ge 0.$ $ ¿Hay una manera simple?

Answer 1

Oh, deje$g(x)=W(x)+W'(x)+...$, luego$g'(x)=W'(x)+W''(x)+...$ por lo tanto$g'(x)=g(x)-W(x)$. Ponga$y=g(x)$, luego obtenemos la ecuación: $$ y '= yW (x) $$ Esto se puede resolver de la siguiente manera: \begin{align} & y'=y-W(x) \\ & \implies e^{-x}y' = ye^{-x} - We^{-x} \\ & \implies e^{-x}y' -ye^{-x} = -We^{-x} \\ & \implies \frac{d}{dx}(ye^{-x}) = -We^{-x} \\ \end {align}

Desde aquí, el siguiente comentario lo guiará, porque no puedo integrarlo a menos que conozca algunos límites, que se asumen en el comentario a continuación.

Answer 2

Supongamos por una contradicción$u(x_0)<0$ para algún punto$x_0\in \mathbb{R}$. Entonces, como$u$ es un polinomio de grado parejo con un coeficiente principal positivo (porque$W$ debe tener también estas propiedades), debe haber un intervalo$[a,b]\ni x_0$ tal que$u(x)<0$ para todos$x\in ]a,b[$ y$u(a)=0=u(b)$. Entonces debe haber algún$c\in ]a,b[$ tal que$u'(c)=0$ por el teorema de Rolle. Por lo tanto,$$0=u'(c)=W'(c)+W''(c)+\dots =u(c)-W(c),$ $ y por lo tanto$$0\leq W(c)=u(c)<0,$ $ que es una contradicción.