Misteriosa Trig Habilidades de Wolfram Alpha ...

Question

Esta es una pregunta muy directa:

Estoy tratando de simplificar$$\sin(2\pi t +\pi/4) + \sin(2\pi t -\pi/4)$ $ y fallar en ello:

$\sin(2\pi t +\pi/4) + \sin(2\pi t -\pi/4)$
$2\sin(2\pi t)\cos(\pi/2)$ por suma$\to$ product = ZERO

Wolfram alpha da$\sqrt{2}\sin(2\pi t)$, pero no da ninguna explicación de cómo.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Sugerencia: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$ $

Answer 2

Si se dibuja la situación en el círculo unidad, a continuación, $\sin\varphi$ es la coordenada x del punto correspondiente al ángulo de $\varphi$. Los puntos de $2\pi t-\pi/4$ $2\pi t+\pi/4$ tienen un ángulo recto entre ellos y $2\pi t$ es exactamente en el medio.

Así que desde el derecho triángulo de abajo se ve que la suma de los vectores correspondientes a $2\pi t-\pi/4$ $2\pi t+\pi 4$ tiene la misma dirección que el vector correspondiente a $2\pi t$ y la longitud es de $\sqrt2$. La suma de $\sin(2\pi t-\pi/4)+\sin(2\pi t+\pi/4)$ es la coordenada x de este vector, y es igual a $\sqrt2\sin 2\pi t.$

El mismo argumento da $\cos(2\pi t-\pi/4)+\cos(2\pi t+\pi/4)=\sqrt2\cos 2\pi t.$

Más o menos la misma idea se puede expresar mediante números complejos si hacemos uso de Euler forumula $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$.

Tenemos $$e^{\alpha+\pi/4}+e^{\alpha-\pi/4}=e^\alpha(e^{\pi/4}+e^{-\pi/4})=e^\alpha2\cos\frac\pi4=e^\alpha\sqrt2.$$ La parte real da $\cos(\alpha+\pi/4)+\cos(\alpha-\pi/4)=\sqrt2\cos\alpha$ y la parte imaginaria da $\sin(\alpha+\pi/4)+\sin(\alpha-\pi/4)=\sqrt2\sin\alpha$.

Los números complejos son muy a menudo útil para recordar/demostrar identidades trigonométricas.

Answer 3

Si desea utilizar la suma-producto de la fórmula, debe ser la correcta. Tenemos $$\sin x+\sin y=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right).$$ Pero creo que es mejor volver a la suma/resta de las leyes de seno, como se describe por Zev Chonoles.

Tenemos $$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,$$ y su pariente muy cercano $$\sin(a-b)=\sin a \cos b -\cos a\sin b.$$ Deje $a=2\pi t$$b=\frac{\pi}{4}$. El seno y el coseno de $\frac{\pi}{4}$ ambos $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Observación: Si uno va a hacer un determinado tipo de cálculo muy a menudo, es útil para recordar de memoria las correspondientes fórmulas. Sin embargo, creo que la mejor manera de saber sólo un muy pequeño número de trigonométricas de los hechos, y reconstruir cualquier otra cosa que pueda necesitar.