Logarítmicas derivadas de Riemann Zeta función

Question

Dada la derivada logarítmica de la función zeta $\dfrac{\zeta^\prime (s)}{\zeta(s)}$ ¿cómo se comportan cerca de $s=1$?

Me refiero a que si por $s=1$ el de la serie de Laurent de la derivada logarítmica se convierte en

$$\frac{\zeta^\prime (s)}{\zeta(s)}= A+ (s-1)^{-1}$$

donde $A$ es un número real constante.

Answer 1

Vamos a generalizar y mire todas las constantes en el Laurent de expansión. Considere la posibilidad de $$-\frac{\zeta^\prime}{\zeta}(s+1)=\frac{1}{s}+\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j!}\eta_j s^j.$$ (I put in a negative sign so it corresponds to $\sum\limits_{n=1}^\infty \Lambda(n)n^{-s}$.) I claim that $\eta_0 =-\gamma_0$, Euler's Constant, and that in general $\eta_j$ será una suma de productos de la Stieltjes constantes.

Constantes derivadas de un límite: es interesante notar que, en forma análoga al hecho de que la Stieltjes constantes dada por el límite $$\gamma_n=\lim_{n\to\infty}{\left(\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\log k)^n}{k}\right) - \frac{(\log m)^{n+1}}{n+1}\right)},$$ we have that $$\eta_n=\lim_{n\to\infty}{\left(\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\log k)^{n}\Lambda(k)}{k}\right) - \frac{(\log m)^{n+1}}{n+1}\right)}$$ where $\Lambda(n)$ is the von Mangoldt Lambda Function. This can be proven by using exponential generating series, and then the Dirichlet series for $-\frac{\zeta^\prime}{\zeta}(s).$

La computación de las Constantes: podemos calcular $\eta_j$ en términos de Stieltjes constantes mediante el uso de la relación $$\log\left(1+\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j!}\gamma_j s^{j+1}\right)= \log (s\zeta(s+1))=-\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j!}\eta_j s^j$$

y luego ampliar mediante el uso de la identidad de $$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

De esto podemos obtener la potencia de la serie $$\gamma_0 s-\left(2\gamma_1+\gamma_0^2\right)\frac{s^2}{2}+\left(3\gamma_2+6\gamma_1\gamma_0+2\gamma_0^3\right)\frac{s^3}{6}+\cdots$$ so that $$\eta_0 =-\gamma, \ \ \ \eta_1 =-(2\gamma_1 +\gamma_0^2), \ \ \ \eta_2 =-(3\gamma_2 +6\gamma_1\gamma_0 +2\gamma_0^3) \qquad \text{et cetera}.$$

Answer 2

Como una adición a Eric respuesta, Coffey da una relación de recursividad para los coeficientes $\dfrac{\eta_j}{j!}$ que aparecen en la expansión de la $\zeta$ de la función logarítmica de derivados. Dejando $\gamma_k$ ser el Stieltjes constantes, y con la condición inicial $\eta_0=-\gamma_0=-\gamma$, tenemos la relación de recursividad

$$\frac{\eta_j}{j!}=(-1)^{j+1}\left(\frac{j+1}{j!}\gamma_j+\sum_{k=0}^{j-1} \frac{(-1)^{k-1}}{(j-k-1)!}\frac{\eta_k}{k!}\gamma_{j-k-1}\right)$$

Una fórmula similar aparece también en Choudhury del papel.