composición de ciertos mapas de cobertura

Question

Este problema fue publicado antes, pero no la prueba (porque el autor de la pregunta sabía la respuesta), sólo un contraejemplo sin la hipótesis de finito de fibras. Quiero saber cómo demostrar esta proposición:

Deje $q:X\to Y$ $r:Y\to Z$ a estar cubriendo los mapas. Supongamos que para cada una de las $z\in Z$ , la $ r^{-1}(z)$ es finito, entonces la composición de la $p = r\circ q$ es también una cubierta mapa. Así que tengo que considerar $z\in Z$ y muestran que no existe un barrio en el que está uniformemente cubierto por $p$, yo sé que no existe un vecindario $U$ que es uniformemente cubierto por $r$, creo que este va a ser el deseado barrio. La primera de todas las $ r^{-1}(U) = \cup_{i=1}^{n} V_i $ (es fácil ver que los sindicatos es finito con el hecho de que las fibras son finitos, y este es un local homeomorphism entre el $V_i$) A continuación, $ p^{-1}(U)=q^{-1} (r^{-1}(U) ) = q^{-1}(\cup_{i=1}^{n} V_i)=\cup_{i=1}^{n} q^{-1}(V_i) $ Con $ q^{-1}(V_i) \cong V_i$ bajo $q$ $\cong$ U de $p$ Nunca he usado el hecho de que la preimagen es finito, así que mi prueba es, obviamente, no es correcto, por favor me ayude con esto

Answer 1

Deje $z\in Z$. Hay un abrir$U\ni z$$r^{-1}(U)=\bigsqcup_{i=1}^n U_i$, de tal manera que $r_i:U_i\xrightarrow{{\approx}} U$. Deje $y_i\in U_i$ a ser el elemento que en la fibra de $z$. Para cada $i$ hay un abrir $V_i$ $y_i\in V_i\subseteq U_i$ tal que $q^{-1}(V_i)=\bigsqcup_j V_i^j$$q_i^j:V_i^j\xrightarrow{{\approx}} V_i$.

Deje $W:=\bigcap_{i=1}^nr(V_i)$. Este es un subconjunto abierto de $U$ contiene $z$. Aquí está el uso de la finitud de las fibras. Vamos a mostrar que este es el deseado barrio.

Deje $W_i:=r_i^{-1}(W)$. Este es un subconjunto abierto de $V_i$ contiene $y_i$, e $r_i:W_i\xrightarrow{{\approx}} W$. Tenemos $q^{-1}(W_i)=\bigsqcup_j W_i^j$ tal que $q_i^j:W_i^j\xrightarrow{{\approx}} W_i$. Componer $q_i^j$ $r_i$ a continuación se da una homeomorphism entre el$W_i^j$$W$. Además, $p^{-1}(W)=\bigsqcup_{i=1}^n\bigsqcup_jW_i^j.$