Un subgrupo particular del grupo lineal general

Question

Digamos que un $n \times n$ matriz con coeficientes reales $a_{ij}$ tiene la propiedad P si $\sum_j a_{ij} >0, \forall i$ . Digamos que un grupo (o subgrupo) de matrices tiene la propiedad P si cada elemento tiene la propiedad P.

¿Cuál sería el mayor subgrupo del grupo lineal general $\text{GL}_ n(\mathbb{R})$ que tiene la propiedad P ?

Ya estoy teniendo algunos problemas para el $2 \times 2$ caso. Encontré que las matrices de la forma $\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$ o $\begin{bmatrix} 0 & a \\ b & 0\end{bmatrix}$ con coeficientes estrictamente positivos funcionan, obviamente, así como las matrices de la forma $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1+a\end{bmatrix}$ ( $a > 0$ ), pero no veo una forma general de hacerlo.

Answer 1

Si lo entiendo bien, quieres que la suma de los elementos de cada fila sea positiva. Así que estás considerando mapas lineales que toman el vector $[1,1, \dots, 1]^{t}$ a un vector con entradas positivas.

Mi idea sobre la construcción de un subgrupo grande de mapas como ese sería tomar una base $e_1, \dots, e_n$ del espacio vectorial subyacente $V$ que tiene $e_1 = [1,1, \dots, 1]^{t}$ como su primer elemento. A continuación, defina un subgrupo $G$ de $\operatorname{GL}(V)$ por $$G = \left\{ g \in GL(V) : \text{$ g(e_1) = a e_{1} $, for some $ a > 0 $} \right\}.$$

En el caso $n = 2$ se obtiene $[1,1]^{t} \mapsto [a,a]^{t}$ y decir $[0,1]^{t} \mapsto [b,c]^{t}$ con $a > 0$ et $b \ne c$ no ambos cero. Entonces con respecto a la base estándar se obtiene el grupo de matrices $$G = \left\{ \begin{bmatrix} a-b&b\\a-c&c\end{bmatrix} : \text{$ a > 0 $, $ b \ne c $, $ b $ and $ c $ not both zero} \right\}.$$

Sin embargo, tus dos primeros ejemplos no encajan. Creo que esto podría significar que no existe un subgrupo maximal único que respete esta propiedad. Aunque no se trata de una prueba concluyente, observa, por ejemplo, que las matrices $$\begin{bmatrix}-1&2\\-2&3\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}-1&3\\-2&3\end{bmatrix}$$ satisfacen la condición, mientras que su producto $$\begin{bmatrix}-3&3\\-4&3\end{bmatrix}$$ no lo hace.