$x;y;z\in \mathbb{Z}$ tal que $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$. Probar que: $27\mid x+y+z$

Question

Supongamos que $x;y;z\in \mathbb{Z}$ tal que $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$. Hay que probar que: $27\mid x+y+z$

¡Gracias! :)

P/s: ¡No tengo ninguna idea sobre este problema..!!

Answer 1

Okay, vamos a analizar 2 casos:

1) Cualquier par de números tiene el mismo residuo en la división por 3.

Sin pérdida de generalidad $x \equiv y \mod 3 \Rightarrow (x-y)\equiv 0 \mod 3 \Rightarrow x+y+z \equiv 2x + z \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow z \equiv x \mod 3$ Entonces eso significa que $(x-y)\equiv (y-z) \equiv (z-x) \equiv 0 \mod 3$ de lo cual se deduce que 27 divide su producto.

2) Ningún par de números tiene el mismo residuo en la división por 3.

Sin pérdida de generalidad $x \equiv 2 \mod 3,y \equiv 1 \mod 3,z \equiv 0 \mod 3\ \Rightarrow x+y+z \equiv 0 \mod 3$, pero también tenemos que $x+y+z \equiv (x-y)(y-z)(z-x) \equiv 1*1*(-2) \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow$ ¡Contradicción! Por lo tanto, este caso es imposible.