Supongamos que$a_n+b_n$ converge. ¿El$a_n*b_n$ converge también?

Question

$a_n, b_n$ - secuencias
Supongamos que$a_n+b_n$ converge. ¿% Converge% #% también?

Traté de pensar si puedo aprender algo sobre$a_n b_n$ y$a_n$ asumiendo$b_n$ converge.
También traté de desarrollar esta ecuación$a_n b_n$, suponiendo que sea convergente.

No obtuve ninguna conclusión brillante.
Estaré contento de ayudar.

Answer 1

$a_n =n, b_n =-n$

$a_n+b_n=0$ pero entonces...

$a_nb_n=-n^2\rightarrow -\infty$

Answer 2

Como se muestra en la respuesta de Praphulla Koushik, $$ a_n = n, b_n = -n $$ la cancelación es un problema.

Sin embargo, incluso si restringe$a_n,b_n\ge0$, la respuesta es no. Por ejemplo, si $$ a_n = 2 + (- 1) ^ n, b_n = 3 - (- 1) ^ n $$, entonces$a_n+b_n=5$ yet$a_nb_n$ oscila entre$4$ y$6$.