Partición de $\{1,2,3,\cdots,3n\}$ en $n$ subconjuntos, cada uno con números de $3$, que suma igual

Question

Quiero mostrar que para cada impar $n$ $(n\ge3)$, existe una partición de ${1,2,3,\cdots,3n}$ en subconjuntos disjuntos de $n$, donde cada uno tiene elementos de $3$ y suma igual. El primer número es $3$. $3$ Es obvio. ${1,6,8}, {2,4,9}, {3,5,7}$. He intentado Mostrar esto usando inducción, pero parece que tengo algunos problemas con él. Por favor ayúdame si puedes.

Answer 1

Dejamos que el rango de $k$ $1$ $n$. Nuestros sistemas son $$\begin {cases} {k, \frac{3n-1}2+k,3n+2-2k} &1\le k \le \frac {n+1}2\ {k,n+k-\frac{n+1}2,4n-2k+2}&\frac{n+1}2 \lt k \le n \end{casos}$$ estos pueden verse agregar a $\frac {9n+3}2$ y usar lo números $1$ $n$ en la primera entrada, $n+1$ $2n$ en el segundo y $2n+1$ $3n$ en el tercero. Siguen el patrón de respuesta de Ng Chung Tak $n=5$

Answer 2

Deje $S$ ser la igualdad de la suma de cada partición, entonces el $nS=1+\ldots+3n$.

es decir, $\: nS=\frac{3n(3n+1)}{2} \implies S=\frac{3(3n+1)}{2}$

Ahora, $n=1$ es trivial y $n$ debe ser impar ya que la suma es un número entero.

Tenga en cuenta que la mediana de la secuencia es $\frac{3n+1}{2}$.

Observando $1+\frac{3n+1}{2}+3n=S$

Tome $a+b+c=0$:

$(1+a)+(\frac{3n+1}{2}+b)+(3n+c)=S$

Por ensayo y error, un posible conjunto de $n=5$ es

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline b & 0 & 1 & 2 & -2 & -1 \\ \hline c & 0 & -2 & -4 & -1 & -3 \\ \hline \end{array}$$

Es decir, $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline q & 8 & 9 & 10 & 6 & 7 \\ \hline r & 15 & 13 & 11 & 14 & 12 \\ \hline \end{array}$$

También ver los enlaces de pregunta similar y magia rectángulo

Las instantáneas de uno, dos y tres de Thomas R. Hagedorn, Magia rectángulos revisited, Matemáticas Discretas, 207 (1999), 65-72.

Answer 3

La prueba para el partiton de {1,2,3,⋯,3n} = 3 subconjunto diferente, usamos n = 5 y n = 7
(Paso 1)La base (caso base):
probar que la afirmación se sostiene para el primer número natural n. Generalmente, n = 0 o n = 1, rara vez, n = -1 (aunque no es un número natural, la extensión de los números naturales a -1 es todavía un conjunto ordenado).
(Paso 2) paso inductivo:
demostrar que, si la declaración tiene para algún número natural n, entonces la declaración de cumple para n + 2.
(n + 1) no es aplicable ya que él desee número impar["cada impar n (n≥3)"]) El uso de la Inducción Matemática(MI)

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Desde el "ejemplo":
Para n=3,

{3,5,7},{2,4,9},{1,6,8}

Entonces la suma será {15},{15},{15} que, a continuación, pasar a la lógica ", donde cada uno tiene 3 elementos y la igualdad de la suma"

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Para n = 5,
nos levantamos a: 3n = 3x5 = 15 :

1+2+3+...+15=120 
120/n=24
24/3=8 (average of 3 number)

{1,8,15}{4,6,14}{2,9,13}{5,7,12}{3,10,11}

Suma de los cinco subredes son 24,24,24,24,24.
Para n = 7,
nos levantamos a: 3n = 3x7 = 21

1+2+3+...+21=231 
231/n=33
33/3=11 (average of 3 number)

{1,14,18}{2,15,16}{3,13,17}{4,9,20}{5,7,21}{6,8,19}{10,11,12}

Suma de los siete subredes son 33,33,33,33,33,33,33.

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ps no estoy muy segura de que esto es correcto o no coz i estudio de este tipo de matemáticas en otro idioma, que me puede hacer un error en eso. Lo siento por 1999.