¿Es un vector propio/eigenstate del operador creación también un vector propio/eigenstate del operador de aniquilación? ¿Por qué?
Respuestas
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He aquí un argumento que muestra que $a$ $a^\dagger$ no tienen en común un autovector utilizando sólo la conmutación relación entre ellos.
Supongamos,por medio de la contradicción, existía un vector que fueron comunes autovector de ambos, es decir, un vector distinto de cero $|\psi\rangle$ tal que \begin{align} a|\psi\rangle &= \alpha|\psi\rangle, \\ a^\dagger|\psi\rangle &= \beta|\psi\rangle \end{align} para algunos números complejos $\alpha$$\beta$. A continuación, se habría \begin{align} [a,a^\dagger]|\psi\rangle = (aa^\dagger-a^\dagger a)|\psi\rangle &= (\beta\alpha-\alpha\beta)|\psi\rangle=0. \end{align} Por otro lado, recordemos que \begin{align} [a,a^\dagger] = I, \end{align} así que \begin{align} [a,a^\dagger]|\psi\rangle = |\psi\rangle. \end{align} Poner estos hechos en conjunto da \begin{align} |\psi\rangle = 0, \end{align} una contradicción.
lionelbrits
Puntos
7026
Un eigenfunction de la creación operador sería un estado que satisface $a^\dagger |\psi\rangle \propto |\psi\rangle$. Pensar en las consecuencias de esto para la creación de un operador.
EDITAR: Ya que esto fue votada abajo, permítanme ser más específico.
Supongamos $|\psi\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n |n\rangle$, y requerimos que $a^\dagger |\psi\rangle =\lambda |\psi\rangle$. Entonces
$a^\dagger |\psi\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n \sqrt{n+1}|n+1\rangle$.
Pero la CARTA no contiene $|0\rangle$. ¿Ve usted el problema?
EDIT 2: Lo que escribí anteriormente y en los comentarios no es muy completa. La aniquilación operador puede tener una eigenstate. El estado $|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|}{2}^2} e^{\alpha a^{\dagger}} \left|0\right\rangle$ es un estado coherente con autovalor $\alpha$.
