Divisores de factoriales

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo y $k$ un número entero positivo. Sea $d$ sea el menor número entero positivo tal que $p^k$ divide $d!$ . Es cierto que $d$ es necesariamente un múltiplo de $p$ ?

Answer 1

Supongamos que $d!$ es este número. Entonces $(d-1)!$ no lo es. Ya que $p^k$ no divide $(d-1)!$ pero divide $d! = d \cdot (d-1)!$ entonces $p$ debe dividir $d$ .

Espero que eso ayude,

Answer 2

Sí. Si $p$ no divide $d$ entonces $(d-1)!$ también sería divisible por $p$ ya que tiene el mismo número de factores primos $p$ como $d!$ tiene.

Answer 3

Sí. Si no fuera así, entonces $d!$ tendría el mismo poder de $p$ en su factorización como $(d-1)!$ tiene, por lo tanto $p^k | (d-1)!$ contradiciendo la minimidad.