Deje que $m,n \in \mathbb {Z}$ de tal manera que $m|n$ . Muestra que el mapa $$f: \mathbb {Z}_n^* \to \mathbb {Z}_m^*$$ $$f({a \pmod n}) = (a \pmod m)$$ es surjectiva. No soy capaz de encontrar una forma sencilla de abordar esto... ¿Alguna pista?
Respuestas
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Ya lo tengo. Se probará por inducción. Sólo tenemos que demostrar que el resultado se mantiene cuando $n=mp$ . Deje que $b \in \mathbb {Z}_m^*$ .
Si $b \not\equiv 0 \pmod p$ entonces $(b,m)=1 \land (b,p)=1 \implies (b,n)=1 \implies b \in \mathbb {Z}_n^*$ . Ahora tenemos $f(b)=b$ .
Si $b \equiv 0 \pmod p$ entonces $m \not\equiv 0 \pmod p \implies b+m \not\equiv 0 \pmod p$ . Por lo tanto $(b+m,p)=1 \land (b+m,m)=1 \implies (b+m,n)=1 \implies b+m \in \mathbb {Z}_n^*$ . Ahora tenemos $f(b+m)=b$ .
El paso inductivo es sencillo.
phalacee
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Esto debería ser un comentario, pero tuve problemas con el formato de los comentarios.
Evidentemente, la misma prueba funcionará para $R/I \to R/J$ donde $R$ es una enfermedad inflamatoria pélvica. El problema más general fue considerado aquí y aquí .
Una buena generalización es que una suposición $f: R \to S$ donde los anillos son artísticos conmutativos, mapea las unidades sobre las unidades.
