Par de números primos que el mismo producto

Question

Decir que tenemos 2 números primos $a$, $b$ y $c=a*b$.

¿Hay cualquier otro par de números primos $x,y$ (distinto de $a$ y $b$) $c=x*y$?

Answer 1

Sí, hay, hay infinitamente muchos de hecho. Suponiendo que estamos hablando de $\mathbb Z = { \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots }$, que tenemos, por ejemplo $$14 = 2 \times 7 = -2 \times -7$$ and $% $ $-14 = -2 \times 7 = 2 \times -7.$

Estas no cuentan como factorizaciones distintas debido a la multiplicación por las unidades. Pero la manera que redactada tu pregunta, a menos que se editar, creo que he dado una respuesta válida.

Answer 2

He leído y re-leído tu pregunta y yo sólo veo una indicación de que usted quiere restringir "los números primos" de los números primos entre los números naturales (para este propósito no importa si usted se considera 0 un número natural o no).

Que sería el hecho de que se utiliza la etiqueta de prime-números, que tiene esta descripción oficial:

Los números primos son números naturales mayores que 1 no es divisible por ningún número más pequeño distinto de 1. Esta etiqueta está diseñado para preguntas acerca de, relacionados con, o que involucren números primos.

Supongamos que de hecho significa una restricción de este tipo. Entonces la respuesta a tu pregunta es no. Los números naturales forman una única factorización de dominio (UFD) y no consideramos a la reordenación para cambiar fundamentalmente la factorización.

Eso significa que $ab$ es lo mismo que $ba$, aunque en general preferimos $ab$ si $a \leq b$. Así, por ejemplo, $2 \times 3$ $3 \times 2$ no son distintas factorizations de 6. Bueno, dijiste $x$ $y$ tiene que ser distinta de la de $a$$b$.

Si usted permite que los enteros negativos, se pone un poco más interesante. Sin pérdida de generalidad, establezca $x = -a$$y = -b$. A continuación,$ab = xy = c$. Por eso es mejor decir que el pedido y la multiplicación por unidades (como $-1$) no crean distintos factorizations.

Si permites $c = 0$, las cosas se ponen un poco descompone. Entonces, si $a$ $x$ son ambos 0, $b$ $y$ puede ser cualquier enteros mientras $b \neq y$.

Y si nos fijamos en los anillos de enteros algebraicos, muchos de los cuales no son Ufd, las cosas se ponen mucho más interesantes. Pero para el propósito de su pregunta, estamos pegando a la débil definición de primalidad, que ahora es más comúnmente llamado "irreductible"? Si es así, el ejemplo más famoso es $$6 = 2 \times 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5})$$ from $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. None of those numbers are primes by the stronger definition, but all the numbers to the right of the equals sign are irreducible in $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$, they're not divisible by any numbers of smaller norm other than 1 and $-1$.

Answer 3

Jajaja

significa $c = ab = xy$ $a = \frac {x*y}{b}$. Como primer que significaría tanto $b$$b|x$ o $b|y$. Como primer que significaría $x,y$$b=x$ o $b = y$.

Este es el teorema de factorización única, también llamado el teorema Fundamental del álgebra.

Nota, sin embargo tomé por sentado, sin pruebas, que si divide a un % alto $b$$x*y$y $x$ debe dividir o $x$ o $y$. Esta hipótesis es el lema de Euclides y es clave para demostrar el teorema de factorización única.

Answer 4

La respuesta es "algo". Podemos factor de $10$ a de los números primos en cuatro formas: $2\times 5$, $5\times 2$, $(-2)\times (-5)$, y $(-5)\times(-2)$. Todos los de $2,5,-2,-5$ son primos.

Sin embargo, en los números enteros, la factorización en números primos es única hasta (a) y (b) multiplicación por $-1$. Es que, si nos reorganizar $5\times 2$, obtenemos $2\times 5$. Si multiplicamos cada una de las $-2, -5$$-1$, giramos a la $(-2)\times (-5)$ a $2\times 5$. Este es el llamado Teorema Fundamental de la Aritmética.

Si, en lugar de "enteros", consideramos que los diferentes tipos de números, a continuación, diferentes propiedades. Los enteros son lo que se llama un UFD; en todos los UFD una versión del teorema fundamental de la aritmética tiene.