Informática $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sin^{n}x}{\sin^{n}x+\cos^{n}x}dx$ aplicando el teorema de convergencia dominada

Question

<blockquote> <p>Recientemente encontré este integral: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sin^{n}x}{\sin^{n}x+\cos^{n}x}dx$ $</p> </blockquote> <p>Sé que la respuesta debe ser $ \frac{\pi}{12} $ y vi que puede ser resuelto utilizando el teorema de convergencia dominada. Me las arreglé para obtener la integral de esta forma: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{3}- \int_{0}^{\pi/3} \frac{1}{1+\operatorname{tg}^{n}x}dx$$ The new integral should be $ \frac{\pi}{4} $. Pero no puedo encontrar la función que delimita la función dentro de la integral. Me puede explicar ¿cómo puedo encontrar la respuesta usando DCT? Gracias de antemano.</p>

Answer 1

Sugerencia. Uno sólo puede observar que, como $n \to \infty$, $$\begin{align} \int{0}^{\pi/3} \frac{1}{1+\tan^{n}x}dx&=\int{0}^{\pi/4} \underbrace{\frac{1}{1+\tan^{n}x}}_{\to \,\color{red}{1}\, \text{using} \,|\tan x|1}dx \& \to \frac \pi4+\color{red}{0}.\end {alinee el} $$ entonces aplique el DCT apropiadamente.

Answer 2

Ya que para todos n a partir de aquí hemos de Integrar a $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan^\alpha{x}}\,\mathrm{d}x$ $$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan^n x}\,\mathrm{d}x =\frac{π}{ 4}$$

Cumplimiento $x= \pi/2-t$. tenemos, $$I= \int_0^{\pi/3} \frac{1}{1+\bronceado^n x}\,dx =\int_ {\pi/6} ^{\pi/2} \frac{1}{1+\bronceado^n(\pi/2-t)}\,dt \\=\int_ {\pi/6} ^{\pi/2} \frac{\bronceado^n(t)}{1+\bronceado^n(t)}\,dt = \frac{\pi}{3}-\int_ {\pi/6} ^{\pi/2} \frac{1}{1+\bronceado^n(t)}\,dt\\= \frac{\pi}{3}-\int_ {0} ^{\pi/2} \frac{1}{1+\bronceado^n(t)}\,dt+\int_ {0} ^{\pi/6} \frac{1}{1+\bronceado^n(t)}\,dt \\= \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+\int_ {0} ^{\pi/6} \frac{1}{1+\bronceado^n(t)}\,dt\a \color{red}{\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{4}}$$

Desde $\tan $ es continua en el conjunto compacto $[0,π/6]$ $\in [0,π/6]$hemos

$$ 0\le \tan^n x\le \tan^n(π/6)=\frac{1}{(\sqrt{3})^n}\to 0$$

Answer 3

Tomar la función constante $1$. Si entonces, $x\in\left[0,\frac\pi3\right]$ $$1+\tan^nx\geqslant 1$$and therefore$% $ $\frac1{1+\tan^nx}\leqslant1.$