Cerrada en forma de $I(a)=\int_{0}^a {(e^{-x²})}^{\operatorname{erf}(x)}dx $ y se comportan similares con la función de error?

Question

$\newcommand{\erf}{\operatorname{erf}}$ El cálculo de $\int_{0}^{a}{(e^{-x²})}^{\erf(x)}dx$ grandes $a$ da $0.972106...$ por wolfram alpha, pero de acuerdo a JJacquelin comentarios que afirmaban que $I(a)=\int_{0}^{a}{(e^{-x²})}^{\erf(x)}dx$ es un no-estándar de función especial ,y de acuerdo con los comentarios de yuriy , que demostró que es un sólo una constante , entonces se debe preguntar acerca de la forma cerrada de

$$I(a)=\int_{0}^a {(e^{-x²})}^{\operatorname{erf}(x)}dx $$ if it exists with $$ número real positivo , y también para saber si esta función especial se comportan como iguales con función de Error o exponontial función, ya que es una composición de ellos ? ¿y qué acerca de su aplicación en la probabilidad y en la ecuación diferencial de área ? Además de que lo acerca a la representación de la función hipergeométrica ?

Edición 01: he editado la pregunta de acuerdo a los comentarios y saber la forma cerrada de esta función especial, ya que no es estándar .

Edición 02 he añadido algunos detaill en mi pregunta de acuerdo a la buena respuesta que está gaven por yuriy con el fin de conocer más acerca de esta nueva función

Edit: he añadido otra pregunta que seking de la función hipergeométrica de la titulada función .

Nota (01):$\erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}dt.$

Nota (02): La motivación de esta función es buscar el comportamiento de los integrantes de algunas de las funciones, donde están representados como una función de potencia es la antiderivada de la función sin embargo, el ejemplo se toma aquí es :$\int ({f'})^{kf}$ .

Answer 1

$\newcommand{\erf} {\operatorname{erf}}$Espero que esto sea de ayuda para usted.

En primer lugar, abandonar la búsqueda de la forma cerrada. No es probable que exista.

Ahora, si usted realmente necesita una expresión simple para $I(a)$ en un rango de valores, hay maneras de obtener diversas aproximaciones.

La función es muy agradable. Se va a su límite en $\infty$ muy muy rápido. Aquí está la trama de $I(a)$$a \in [0,10]$:

Así que (dependiendo de la precisión que necesita) usted puede tomar fácilmente la $I(a)=I(\infty)$ $a > a_0$ $a_0$ $3$ o $4$.

Mathematica da por primera $100$ dígitos:

$$I(\infty)=0.972106992769178593151077875442391175554272\\1833855699009722910408441888759958220033410678218401258734$$

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Ahora, ¿qué hacer para que los pequeños $a$?

La función es muy agradable, se puede usar la expansión de Taylor alrededor de $a =0$. El primer término es:

$$I(a) \approx a$$

Aquí está la trama de $a \in [0,1]$:

La prueba es simple. La serie de Taylor tener este aspecto:

$$I(a)=I(0)+I'(0) a+\frac{I''(0)}{2!} a^2+\frac{I'''(0)}{3!} a^3+\dots$$

Podemos ver que:

$$I(0)=0$$

$$I'(0)=e^{-a^2 \erf (a) } \bigg| _{a=0}=1$$

Ahora vamos a encontrar una mejor aproximación mediante el cálculo de las derivadas mayores:

$$I''(a)=\left( e^{-a^2 \erf (a) } \right)'=-\frac{2}{\sqrt{\pi}} a e^{-a^2 (\text{erf}(a)+1)} \left(\sqrt{\pi } e^{a^2} \text{erf}(a)+a\right)$$

$$I''(0)=0$$

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Yo uso de Mathematica como un acceso directo, pero es fácil hacerlo a mano, si te acuerdas de:

$$\erf' (x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$$

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$$I'''(0)=0$$

$$I^{ IV} (0)=-\frac{12}{\sqrt{\pi}}$$

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Así que nuestro siguiente aproximación es:

$$I(a) \approx a-\frac{ 1}{2\sqrt{\pi}} a^4$$

La parcela con ambas aproximaciones (naranja, verde) y de la propia función (azul) es la siguiente:

Usted puede continuar de la misma manera por mayor de derivados.

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Ahora admito que es posible que se necesitan los valores de $I(a)$ para todos los $a$ y con alta precisión, por lo que las aproximaciones de no hacer. Luego hay que girar a la integración numérica (como Mathematica hizo por mí trace la gráfica de la función).

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Otra manera de aproximarse a la función es el uso de sus derivados:

$$\frac{d I}{da}=e^{-a^2 \erf (a) }$$

Pero esta es una ecuación diferencial ordinaria, que se pueden resolver numéricamente.

Como ejemplo, he aquí una sencilla explícita esquema de Euler para el tamaño de paso de $h$:

$$\frac{I(a+h)-I(a)}{h}=e^{-a^2 \erf (a) }$$

$$I(a+h)=I(a)+h e^{-a^2 \erf (a) }$$

Podemos utilizar un valor inicial $I(0)=0$.

Para $h=\frac{1}{10}$ tenemos el siguiente resultado (puntos rojos) en comparación con la función exacta (línea azul):

Para $h=\frac{1}{50}$:

De esta manera puede servir como una buena alternativa de integración numérica (dependiendo del contexto y de la aplicación de curso).