Ideal mínimo en anillos finitos conmutativos

Question

Sea $R$ sea un anillo finito conmutativo con identidad, y sea $I$ sea un ideal mínimo de $R$ es decir, un ideal distinto de cero en el que no existe ningún ideal estrictamente comprendido entre $I$ y $0$ . Ahora dejemos que $\{I_i\}_{i\in A}$ sea una familia de ideales de $R$ tal que $I\subseteq \sum_{i\in A} I_i$ . ¿Cómo podemos demostrar que existe $j\in A$ tal que $I\subseteq I_j$ ? Si la afirmación no es cierta, ¿hay alguna condición para que lo sea?

Answer 1

Esto es relativamente fácil de demostrar si $R$ es un dominio integral. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $I_j \neq \{0\}$ para todos $j\in A$ .

Supongamos por contradicción que $I\not\subseteq I_j$ para cualquier $j\in A$ entonces, por minimalidad de $I$ sostiene que $$ I\cap I_j = \{0\}, \qquad \forall j\in A $$ Ahora, arregla $j\in A$ y $r\in I_j\setminus\{0\}$ y observe que $rI$ es un ideal contenido tanto en $I$ y en $I_j$ . Para ver que $rI\subseteq I_j$ Obsérvese que $$ rI = \{ri \mid i\in I\}= \bigcup_{i\in I} \{r i\} \subseteq \bigcup_{i\in I} I_j i \subseteq I_j $$ Pero entonces $rI \subseteq I\cap I_j = \{0\}$ . En particular, $ri = 0$ para todos $i\in I$ lo que contradice la suposición de que $R$ es un dominio integral.

Obsérvese que esta prueba demuestra que $I\subseteq I_j$ para todos $j\in A$ .

Answer 2

No es posible demostrarlo en general: hay contraejemplos. Por ejemplo, a partir de esta pregunta reciente se puede adaptar el contraejemplo dado para que sea $F[x,y]/(x,y)^2$ donde $F$ es el campo de dos elementos.

Si esta propiedad se mantiene para un determinado derecho mínimo ideal $T$ entonces no puede haber otras copias de $T$ en $R$ porque se puede construir una tercera copia de $T$ de forma que el original $T$ está contenida en la suma de las dos segundas, pero no es igual a ellas. Así que una condición necesaria sería que el ideal mínimo no fuera isomorfo con todos los demás ideales mínimos.

Creo que también puede ser suficiente, pero aún no me he sentado a pensarlo sobre el papel.