Una manera de clasificar las formas en que un determinado grupo puede actuar en la regular hexagonal torus $H$ es el primer ascensor de la acción al plano, entonces el nombre de el así llamado fondo de pantalla de grupo $W$, y luego determinar si (y en qué forma) el grupo fundamental de la $H$ puede surgir como un subgrupo de $W$. El uso de Dror Bar-Natan ilustrado de la lista de los 17 fondo de pantalla de los grupos, de los 3 que poseen una rotación de 90 grados son imposibles en este contexto. Creo que todos los demás son posibles, pero hay sutiles diferencias en la estructura del grupo a causa de la distinción entre una reflexión y una reflexión de desplazamiento. I. e., $W$ siempre tiene una traslación de los subgrupos $T$, que es un subgrupo normal, y un cociente de rotación del grupo de $R$, pero puede ser un no-división de extensión de $R$$T$, no sólo un semi-directa del producto.
La lista de candidatos no es bastante completo. En el caso de que el orbifold cociente (de cualquiera de los torus $T$ o de todo el avión) es una botella de Klein, que significa que usted tiene glide reflexiones, pero no hay reflexiones. En este caso, el finito grupo que actúe en $H$ puede ser un no-división central de la extensión de un diedro grupo por un grupo cíclico. Además, incluso después de la lista de los grupos finitos que pueden actuar en $H$, a un grupo particular en la lista puede actuar en más de una forma, con sutiles diferencias. Por ejemplo, creo que hay 5 maneras en las que el grupo con 2 elementos de los actos en $H$, debido a que el cociente puede ser una botella de Klein (en dos sentidos), un anillo (de nuevo en dos formas), o una esfera con cuatro cono puntos de orden dos (en una dirección).
