¿Demostración de la dimensionalidad finita de las formas modulares mediante la teoría de la representación?

Question

Es bien sabido cómo utilizar la geometría algebraica (diferenciales, divisores y Riemann-Roch) para demostrar la dimensionalidad finita del espacio vectorial de formas modulares de algún peso y nivel fijos.

¿Es posible demostrar la dimensionalidad finita de las formas modulares utilizando la teoría de la representación? Si es así, ¿alguna referencia?

Answer 1

Es posible express la dimensionalidad finita en términos de teoría de la representación: equivale al hecho de que las formas automórficas sobre $\mathrm{GL}_2(\mathbb A)$ formar un admisible representación de $\mathrm{GL}_2(\mathbb A)$ . (En realidad, esta afirmación es un poco más contundente, porque incluye el caso de la forma Maass).

Pero no estoy seguro de que se pueda demostrar esto puramente desde el punto de vista de la teoría de la representación. Al menos, depende de hechos analíticos (o equivalentes algebro-geométricos, si se piensa en términos de Riemann--Roch), que tienen que ponerse en juego de un modo u otro.

Answer 2

Dependiendo de lo que entienda por teoría de la representación, la respuesta es: ¡sí!
Desde luego, se puede demostrar mediante "análisis". El teorema es: el espacio de formas automórficas (sobre un grupo reductor) de un cierto nivel con un determinado $\mathcal Z$ -y $K$ -es de dimensión finita.

La prueba se basa en que un subespacio cerrado de $L^2(X,\mu)$ con $\mu(X)$ finito, formado por funciones esencialmente acotadas es de dimensión finita.
Se trata del teorema 5.2 de la obra de Rudin "Functional Analysis", donde se atribuye a Grothendieck. También es el Lemma 8.3 en "Automorphic forms" de Borel, donde se atribuye a Godement. Los enunciados son ligeramente diferentes, por lo que no se trata necesariamente de un error de atribución.

Permítanme esbozar la prueba para el caso de la forma cúspide. El caso general se deduce del caso cuspidal y de un argumento de inducción (sobre el rango del grupo). Para simplificar, $X$ será $\Gamma\backslash SL_2({\mathbb R})$ donde $\Gamma$ es un subgrupo aritmético.

Antes de empezar, necesitas:
1) Las formas de cúspide disminuyen rápidamente (debería añadir "en los conjuntos de Siegel"). Esto es estándar, aunque algo técnico.
2) Distribuciones sobre $X$ con prescripción $\mathcal Z$ - y $K$ -son en realidad funciones suaves. Esto es esencialmente una aplicación de la regularidad elíptica.
3) $L^2_{\rm cusp}(X)$ está cerrado en $L^2(X)$ . Esto es obvio o sencillo, dependiendo de lo que ya sepas.
(Obsérvese que mientras las formas de cúspide disminuyen rápidamente, $L^2_{\rm cusp}(X)$ no está formada por funciones esencialmente acotadas, porque tenemos criterios más estrictos para que una función sea una forma de cúspide que simplemente estar en $L^2_{\rm cusp}(X)$ )

Ahora que tenemos estos datos a mano, la prueba es bastante sencilla.
Las formas de cúspide de tipo específico son rápidamente decrecientes (1), por lo que están esencialmente acotadas. Una forma convergente (en $L^2$ ) de formas de cúspide de un tipo específico converge débilmente a una distribución del mismo tipo (es necesario utilizar distribuciones para hablar de la $\mathcal Z$ -de una función no suave), por lo que en realidad era una función suave (2), por lo que converge a una forma de cúspide (3). Así que podemos deducir que el espacio de formas cúspide de un tipo dado es de dimensión finita.

Esto no es más que una transcripción abreviada del argumento de Borel en "Automorphic forms on $SL_2({\mathbb R})$ ". El teorema es original de Harish-Chandra, en "Automorphic forms on semisimple Lie groups".

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El teorema al que creo que se refiere Matt E es la afirmación mucho más fuerte de que "las representaciones unitarias irreducibles de grupos reductores sobre campos locales son admisibles". Esto implica que las representaciones unitarias irreducibles de grupos adele son admisibles. Lo que implica que las subrepresentaciones del espacio de formas cúspides son admisibles, lo que implica que las representaciones automórficas son admisibles, ya que se construyen a partir de representaciones cúspides de formas que preservan la admisibilidad (inducción parabólica y subcocientes). Este teorema es demostrable en términos de teoría de la representación (aunque es sorprendentemente algebraico: los principales trucos son sobre álgebras).

Es importante porque nos permite factorizar representaciones automórficas sobre primos. No es difícil demostrar que las representaciones irreducibles admisibles de los grupos adele se factorizan sobre primos, pero no se demostró que las representaciones automórficas eran admisibles hasta que se demostró que las representaciones unitarias irreducibles lo eran.