¿Qué hay de nuevo en las dimensiones superiores?

Question

Esta es una pregunta muy especulativa/suave; por favor, tenlo en cuenta al leerla. Aquí "más alto" significa "mayor que 3".

Lo que me pregunto es qué nuevo los fenómenos geométricos existen en las dimensiones superiores. Cuando digo nuevos me refiero a fenómenos que son contraintuitivos o no análogos a sus homólogos de dimensiones inferiores. Un buen ejemplo podría ser embalaje de la hiperesfera .

Mi principal (y triste) impresión es que casi todos los fenómenos en dimensiones superiores podrían pensarse intuitivamente por analogía dimensional. Véase, por ejemplo, este enlace :

Lo que esto implica (para mí) es la aburrida consecuencia de que no hay ninguna riqueza conceptual nueva en la geometría de dimensiones superiores, más allá del hecho de que los números son más grandes (por ejemplo, mi campo de estudio son las compactaciones de cuerdas y aunque, a primera vista, podría sonar espectacular el uso de orientifolds que establecen un loci de puntos fijos que son planos O3 y O7; el razonamiento es más o menos el mismo que en dimensiones inferiores...)

Sin embargo la cuestión de la geometría dimensional superior está muy relacionada (para mí) con la idea de belleza y complejidad: estas proyecciones a 2-D de objetos de dimensión superior me asombran totalmente (por ejemplo esta proyección ortonormal de un 12 cubos ) y me hace pensar que deben existir interesantes fenómenos dimensionales superiores...

Agradecería a quien pudiera darme ejemplos de ideas hermosas que impliquen la "visualización" de la geometría dimensional superior

Answer 1

En altas dimensiones, casi todo el volumen de una bola se encuentra en su superficie. Más exactamente, si $V_d(r)$ es el volumen del $d$ -bola de dimensiones con radio $r$ entonces para cualquier $\epsilon>0$ por pequeño que sea, tienes $$\lim_{d\to\infty} \frac{V_d(1-\epsilon)}{V_d(1)} = 0$$ Algebraicamente es obvio, pero geométricamente lo considero muy sorprendente.

Editar:

Otro hecho sorprendente: en 4D y superior, se puede tener un toro plano, es decir, un toro sin ninguna curvatura intrínseca (como un cilindro en 3D). Y aún más: Se puede dibujar dicho toro (no una imagen del mismo, el propio toro plano) en la superficie de una hiperbola (es decir, una hiperesfera). De hecho, la hiperesfera tridimensional (superficie del hiperbalón cuatridimensional) puede dividirse casi por completo en tales toros, quedando dos círculos en dos planos completamente ortogonales (gracias a anon en los comentarios por recordarme esos dos círculos sobrantes). Obsérvese que los círculos podrían considerarse toros degenerados, ya que los toros planos se transforman continuamente en ellos (de forma muy parecida a como los círculos de latitud de la 2-esfera se transforman en un punto en los polos).

Answer 2

Un número de problemas en geometría discreta (típicamente, involucrando arreglos de puntos u otros objetos en $\mathbb R^d$ ) cambian de comportamiento a medida que el número de dimensiones crece más allá de lo que intuimos.

Mi ejemplo favorito es la "catástrofe de las salchichas", por el nombre. El problema aquí es: tomar $n$ bolas de la unidad en $\mathbb R^d$ . ¿Cómo podemos empaquetarlas de la forma más compacta, minimizando el volumen del casco convexo de su unión? (Para visualizar esto en $\mathbb R^3$ Imagínese que está envolviendo el $n$ bolas en una envoltura de plástico, creando un solo objeto, y quieres que el objeto sea lo más pequeño posible).

Hay dos estrategias que compiten entre sí:

1. Empezar con una esfera densa empaquetada en $\mathbb R^d$ y escoge un trozo más o menos circular.
2. Dispón todas las esferas en línea, de modo que el casco convexo de su unión tenga la forma de una salchicha.

¿Qué estrategia es la mejor? Depende de $d$ en formas un tanto extrañas. Para $d=2$ La primera estrategia (utilizar el empaquetado de círculos hexagonales y tomar un gran trozo hexagonal del mismo) es la mejor para casi cualquier número de círculos. Para $d=3$ La estrategia de la salchicha es la configuración más conocida para $n \le 56$ (aunque esto no está probado) y la primera estrategia toma el relevo para los más grandes $n$ que eso: el punto en el que se produce este cambio se denomina "catástrofe de la salchicha".

Para $d=4$ el mismo comportamiento que en $d=3$ ocurre, excepto que estamos aún menos seguros de cuándo. Hemos conseguido demostrar que la catástrofe de las salchichas ocurre para algunos $n < 375,769$ . Por otro lado, ni siquiera estamos seguros de que la salchicha sea óptima para $n=5$ .

Por último, sabemos que hay algunos suficientemente grande $d$ tal que la estrategia de la salchicha es siempre la mejor estrategia en $\mathbb R^d$ No importa cuántas bolas haya. Creemos que el valor es $d=5$ pero lo mejor que hemos demostrado es que la salchicha es siempre óptima para $d\ge 42$ . Hay muchas preguntas abiertas sobre los embutidos.

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Si estás pensando en el problema más general de empaquetar esferas en $\mathbb R^d$ tan densamente como sea posible, las cosas emocionantes también ocurren en dimensiones que no podemos visualizar. Un resultado reciente dice que el $E_8$ celosía y el Celosía de sanguijuelas son el embalaje más denso en $\mathbb R^8$ y $\mathbb R^{24}$ respectivamente, y estos son mucho mejores que lo mejor que sabemos hacer en las dimensiones "adyacentes". En cierto sentido, esto es decir que hay $8$ -y la de los demás. $24$ -objetos dimensionales que no son análogos en $\mathbb R^d$ para la arbitrariedad $d$ un ejemplo perfecto de algo que ocurre en muchas dimensiones y que no se puede describir intuitivamente comparándolo con lo ordinario $3$ -espacio dimensional.

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Resultados como el Teorema de Hales-Jewett son otra fuente de "comportamiento nuevo" en un espacio de dimensiones suficientemente altas. El teorema de Hales-Jewett dice, a grandes rasgos, que para cualquier $n$ hay una dimensión $d$ tal que $n$ -en una fila de tres en raya en un $n \times n \times \dots \times n$ tablero no puede ser jugado a un empate. (Para $n=3$ esa dimensión es $d=3$ para $n=4$ Es un punto intermedio entre $d=7$ y $d = 10^{11}$ .) Sin embargo, podrías quejarte de que este resultado es puramente combinatorio; no estás haciendo tanto la visualización de $d$ -objetos dimensionales aquí.

Answer 3

En dimensiones $d > 4$ sólo hay los tres politopos regulares obvios: el simplex, el hipercubo y su dual, el politopo en cruz. La cuarta dimensión está protagonizada por tres más, el 24 celdas El 120 celdas y el 600 celdas .

Esferas de paquete de diámetro $1/2$ en las esquinas de un hipercubo unitario de dimensión $d$ . Entonces inscribe una esfera $S$ en el centro de ese cubo tangente a las esferas de las esquinas. La diagonal larga del hipercubo tiene la longitud $\sqrt{d}$ . De ello se deduce que el diámetro de $S$ es $(\sqrt{d} -1)/2$ . Cuando $d=9$ , $S$ es tangente a las facetas del hipercubo. Cuando $d> 9$ sobresale más allá de las facetas.

$4x + 1 = \sqrt{d}$ así que $2x = \frac{\sqrt{d} -1}{2}$ .

Mi director de tesis, Andy Gleason, me dijo una vez que "daría mucho por una buena mira en la cuarta dimensión".

Answer 4

Esferas exóticas son una característica sólo de dimensiones superiores a 3. Se trata de espacios topológicos que son homeomorfos a una esfera, pero con una estructura diferencial diferente. Informalmente, se puede parafrasear este resultado como "hay múltiples formas distintas de hacer cálculo en esferas de alta dimensión, pero sólo una forma en esferas de baja dimensión".

Un concepto relacionado es exótico $\mathbb{R}^4$ pero esto no es característico de otros espacios de alta dimensión, sólo $\mathbb{R}^4$ .

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Concentración de la medida es un fenómeno común a muchos objetos geométricos de alta dimensión. La idea básica es que la mayor parte de la masa de muchos objetos típicos de alta dimensión (por ejemplo, la esfera) se concentra cerca de subconjuntos relativamente pequeños. Por ejemplo, en la esfera, la mayor parte de la masa está cerca del ecuador (o cualquier otro análogo de alta dimensión de un "gran círculo").

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Como ejemplo, quizás el mejor de un fenómeno que "parece" muy diferente en altas dimensiones, sugiero teoría de nudos . El primer indicio de que hay sorpresas es la observación de que los nudos en el sentido habitual (incrustaciones de $S^1$ cuyo complemento tiene topología no trivial) no existen en dimensiones distintas de 3. Sin embargo, hay objetos análogos en dimensiones superiores: A $k$ esfera puede estar incrustada en un $k+2$ esfera para formar una especie de "nudo de alta dimensión". Lo importante es que el "nudo" tenga codimensión 2 en el espacio ambiente. Intenta pensar en el aspecto de estos nudos de alta dimensión :)

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Si está dispuesto a considerar infinito dimensiones Entonces no hay nada que hacer. En este caso, la intuición finita puede ser francamente peligrosa. Por ejemplo:

• Para espacios vectoriales de dimensión finita, todas las normas son equivalentes pero esto no es cierto en dimensiones infinitas.
• Hay ninguna medida invariante de la traslación en infinitas dimensiones. Esto se debe al hecho geométrico de que se pueden poner infinitas bolas de radio $1/2$ dentro de una bola de radio $2$ en dimensiones infinitas.

Answer 5

Es tentador pensar que las dimensiones superiores sólo aportan " nuevos fenómenos geométricos ", pero también pueden quitar propiedades familiares a menudo consideradas como elementales en dimensiones inferiores.

Algo que damos por sentado en el 3D, por ejemplo, es la producto vectorial cruzado como un producto vectorial, bilineal y anticomutativo de dos vectores 3D. Puede sorprender que no exista un equivalente directo del producto cruzado en $\,\mathbb{R}^n\,$ para $\,n>3\,$ , excepto para $\,n=7\,$ .

Que " el producto cruzado de siete dimensiones tiene la misma relación con el octonions como lo hace el producto tridimensional al cuaterniones " no es inmediatamente evidente, y la razón por la que el conocido producto cruzado sólo existe en $\,3\,$ o $\,7\,$ dimensiones va a lo más profundo Teorema de Hurwitz lo que implica que la única norma de dimensión finita álgebras de división debe tener dimensión $1$ , $2$ , $4$ o $8$ .

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[ EDITAR Se pueden obtener más datos de la pregunta relacionada Producto cruzado en $\mathbb R^n$ Algunas respuestas en ¿El producto vectorial cruzado sólo está definido para el 3D? la pregunta de quora ¿Por qué el producto cruzado sólo existe en tres y siete dimensiones? y el artículo de J.M. Massey Productos cruzados de vectores en espacios euclidianos de dimensión superior en The American Mathematical Monthly Vol. 90, No. 10 (dic., 1983), pp. 697-701.