¿Por qué minimizar la mediana la $E(|X-c|)$?

Question

Supongo que $X$ es una variable al azar real-valued.

Que $P$ sea la medida de la probabilidad de $X$. Entonces $$ E (| Asimismo |) = \int_\mathbb{R} | asimismo | dP(x). $$ Su mediana se define como un número $m \in \mathbb{R}$ tal que $P(X \leq m) \geq \frac{1}{2}$ y $P(X \geq m) \geq \frac{1}{2}$.

Por qué soluciona su mediana $$ \min_{c \in \mathbb{R}} E (| Asimismo |) \, ? $$

Gracias y saludos!

Answer 1

Para todos los verdaderos valores de variable aleatoria $X$, $$ \mathrm E(|X-c|)=\int\limits_ {c}^{+\infty}\mathrm P(X\leqslant -t)\mathrm dt+\int\limits_c^{+\infty}\mathrm P(X\geqslant t)\mathrm dt, $$ por lo tanto la derivada de la función $c\mapsto \mathrm E(|X-c|)$$\mathrm P(X\leqslant c)-\mathrm P(X\geqslant c)$, que es negativo si $c$ es menor que la de cada mediana, null si $c$ es una mediana, y positivo si $c$ es mayor que cada mediana.

La fórmula para $\mathrm E(|X-c|)$ es la versión integrada de las relaciones $(x-y)^+=\int\limits_y^{+\infty}[t\leqslant x]\mathrm dt$$|x-c|=((-x)-(-c))^++(x-c)^+$, que producen, para cada $x$$c$, $$ |x-c|=\int\limits_ {c}^{+\infty}[x\leqslant -t]\mathrm dt+\int\limits_c^{+\infty}[x\geqslant t]\mathrm dt. $$