Cualquier grupo de orden $12$ debe contener un subgrupo de Sylow normal

Question

Esto es parte de una pregunta de Hungerford la sección de los teoremas de Sylow, que es mostrar que cualquier grupo con el fin de 12, 28, 56, o 200 tiene un normal subgrupo de Sylow. Solo estoy tratando el caso de $|G| = 12$ primera.

He leído ya que no se puede concluir en general que $G$ tienen un nivel normal de Sylow 2-subgrupo o una normal de Sylow 3-subgrupo, así que estoy un poco confundido acerca de cómo probar esto. Aquí está mi inicio, pero no a ese extremo. Deje $n_2, n_3$ denotar el número de Sylow $2$ - $3$- subgrupos, respectivamente. Entonces:

$n_2 \mid 3$ $n_2 \equiv 1 (\operatorname{mod } 2)$ , lo $n_2 = 1$ o $3$. Del mismo modo, $n_3 \mid 4$$n_3 \equiv 1 (\operatorname{mod } 3)$, lo $n_3 = 1$ o $4$.

Yo estaba pensando en asumir que $n_2 \ne 1$, y demostrar que en este caso, $n_3$ debe ser igual a $1$. Pero no veo cómo hacerlo. También se podría hacer al revés: si $n_3 \ne 1$, entonces el espectáculo $n_2 = 1$.

Answer 1

Sugerencia: Si $n_3 = 4$, entonces ¿cuántos elementos de orden 3 son allí en el grupo? ¿Cuántos elementos deja para sus grupos de orden 4?

Answer 2

Supongamos $n_2 \neq 1$$n_3 \neq 1$. A continuación,$n_2 = 3$$n_3=4$. Tenga en cuenta que la intersección de cualquier sylow 3-subgrupo es trivial y la intersección de una sylow $2-$subgrupo y un sylow $3-$subgrupo es trivial. También la intersección de dos cualesquiera de sylow $2-$subgrupo es un subgrupo de tamaño en la mayoría de los 2. Los cuatro sylow $3-$subgrupo contribuirá $4 \times (3-1)=8$ sin elementos de identidad para el grupo. También dos de las subgrupo de sylow contribuirá al menos cuatro elementos de identidad para el grupo. Así que, junto con el elemento de identidad, el grupo tiene al menos 13 elementos, lo cual no es posible. Por lo tanto, $n_2=1$ o $n_3=1$.