Observe que si $X \neq 0$, podemos dividir las ecuaciones para obtener
$$
\frac{Y}{X} = \frac{\pecado V}{\cos V} = \bronceado V
$$
Si tenemos la plaza de los dos ecuaciones y añadirlos, obtenemos
$$
X^2 + Y^2 = U^2 \sin^2 V + U^2 \cos^2 V = U^2
$$
Resolviendo estas dos ecuaciones para $U$ $V$ parece sencillo, pero debemos tener cuidado al invertir la $\tan$ función con $\arctan$.
Dado que el rango de $\arctan$$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, vamos a tener la necesidad de restringir $V$ a que se encuentran en este intervalo.
Observe también que cuando $X < 0$, $\cos(\arctan(\frac{Y}{X})) = -X$ y $\sin(\arctan(\frac{Y}{X})) = -Y$.
Por lo tanto, necesita incorporar un interruptor de señales de al $X$ es negativo.
Al $X = 0$, es fácil ver que la configuración de $U = |Y|$ $V = \frac{\pi}{2}$ si $Y \geq 0$ $V = -\frac{\pi}{2}$ si $Y < 0$ el rendimiento de los valores correctos de $X$$Y$.
Poniendo todo esto junto, podemos invertir la transformación al $(U,V)$ se encuentra en el conjunto de $(-\infty,\infty) \times [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
mediante las siguientes fórmulas:
\begin{align}
U &= \begin{cases}
\sqrt{X^2+Y^2} & \text{if %#%#%}\\
-\sqrt{X^2+Y^2} & \text{if %#%#%}
\end{casos}\\
V &= \begin{cases}
\arctan\left(\frac{Y}{X}\right) &\text{if %#%#%} \\
\frac{\pi}{2} & \text{if %#%#% and %#%#%}\\
-\frac{\pi}{2} & \text{if %#%#% and %#%#%}
\end{casos}
\end{align}
Para calcular la densidad conjunta, todo lo que necesitamos es el determinante del Jacobiano de la transformación originales:
$$
\begin{vmatrix}
\frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V}\\
\frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\cos V & -U \sin V\\
\sin V & U \cos V
\end{vmatrix}
=U \cos^2 V + U \sin^2 V = U
$$
Mediante el cambio de variables de la fórmula, podemos calcular la densidad conjunta de $X \geq 0$
\begin{align}
f(u,v) &= \frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{u^2 \cos^2 v + u^2 \cos^2 v}{2}\right)\cdot |u| \cdot \mathbb{1}\left\{-\frac{\pi}{2}\leq v \leq \frac{\pi}{2}\right\}\\
&= \frac{1}{2} \cdot |u| \cdot \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) \cdot \frac{1}{\pi}\cdot\mathbb{1}\left\{-\frac{\pi}{2}\leq v \leq \frac{\pi}{2}\right\}
\end{align}
donde $X < 0$ es un indicador de la función igual a 1 si la expresión de las llaves es verdadera y cero en caso contrario.
Aviso que esto implica $X \neq 0$$X = 0$, de manera independiente, distribuido, con $Y \geq 0$$X = 0$.
