Producto de la taza en cohomología de Morse

Question

Dualizing el Morse complejo, obtenemos la cohomología de Morse, que es isomorfo a la cohomología singular costumbre y admite así un producto de la taza.

¿Alguien sabe cómo este producto Copa sería en términos de puntos críticos de una función de Morse? ¿Cuál es la imagen geométrica?

Answer 1

Quiero ampliar un poco sobre Chris respuesta. La copa del producto en singular homología surge a partir de la composición $$ H^*(M)\otimes H^*(M)\rightarrow H^*(M\times M)\rightarrow H^*(M) $$ Aquí el primer mapa es el producto cruzado de mapa, y el segundo mapa es el pullback $\Delta^*$ de la diagonal de la incrustación de $M\rightarrow M\times M$. Esto puede interpretarse en el sentido de Morse teóricamente.

El producto cruzado mapa puede ser calculado en Morse homología de la siguiente manera. Elija dos puntos críticos $x$ $y$ de funciones de Morse $f_1$$f_2$$M$. Deje $\eta_x$ ser el mapa que envía a $x$ $1$y todos los otros puntos críticos a cero (esto es una base de la doble complejo). A continuación, $\eta_x\otimes \eta_y$ es un generador de $C^*(M)\otimes C^*(M)$. El envío de este a $\eta_{(x,y)}$ donde $(x,y)$ es el punto crítico de la $f(p,q)=f_1(p)+f_2(q)$ $M\times M$ define el producto vectorial del mapa.

En general, un mapa de $h:M\rightarrow N$ (equipada con Morse-Smale pares de $(f_M,g_M)$ $(f_N,g_N)$ induce bajo la transversalidad suposición de que $h|_{W^u(x;f_M,g_M)}\pitchfork W^s(y;f_N,g_N)$ un mapa de $h^*:HM^*(N)\rightarrow HM^*(M)$ definido en los generadores por $$ h^*\eta_y=\sum_{y}\#(W^u(x;f_M,g_M)\cap h^{-1}(W^s(y;f_N,g_N))\eta_x. $$

Aplicando esto a la diagonal de la incrustación de $\Delta$, y que la composición de este con el producto cruzado es posible calcular la taza de asignación de productos a través de

$$ \eta_x\cup\eta_y=\sum_z \#(W^s(x;f_1,g_1)\cap W^s(y;f_2,g_2)\cap W^u(z;f_3,g_3))\eta_z. $$ Aquí el $(f_i,g_i)$ son Morse-Smale pares tales que la estable colectores y de la inestabilidad de los colectores se cruzan mutuamente transversalmente. Estas son exactamente las $Y$ en forma de líneas de flujo de Chris respuesta. La transversalidad de las condiciones exigidas por la diagonal mapa implica que la intersección de arriba es transversal. No es demasiado difícil ver que la espera dimensión es lo que debería ser.

Una referencia para el punto de vista de los apéndices a Abbondandolo Schwarz: Floer homología de la cotangente paquetes de bucle y el producto.

Answer 2

Se da por contar las líneas de flujo en forma de Y, usando las funciones de Morse a lo largo de cada uno de los tres bordes. Para más información:

Homotopía de Morse, $A_\infty$-categoría y homologías Floer (por Fukaya)

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