Mostrar que el límite de $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{y+\sin3x-3x}{y+x^5}$ existe/no existe.

Question

¿Cómo demuestro que este límite existe/no existe? Mi suposición es que no lo hace; sin embargo no veo cómo puedo aplicar la prueba de ruta de dos para comprobar esto.

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{y+\sin3x-3x}{y+x^5} = L$

$\lim_{y\to0}\dfrac{y+\sin(0)-(0)}{y+(0)^5} = 1$

Pero no veo ninguna segunda ruta que simplifica esta bien;

$\lim_{x\to0}\dfrac{(0)+\sin x-x}{(0)+x^5} = \:?$

Answer 1

Sugerencia

Que $f(x,y)=\frac{y+\sin(3x)-3x}{y+x^5}$.

Qué opinas sobre %#% $ #%

Editado

$$\lim{t\to 0}f(0,t)\quad \text{and}\quad \lim{t\to 0}f(t,0)\ \ ?$ $ por lo tanto $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$ $