Integral impropia de una función racional.

Question

Encontrar el valor de la integral $$\int_0^\infty \frac{x^{\frac25}}{1+x^2}dx$ $ intentó la sustitución $x=t^5$ obtener $$\int_0^\infty \frac{5t^6}{1+t^{10}}dt$ $ ahora podemos factor denominador para polinomios de grado dos (porque fácilmente podemos encontrar todas las raíces del polinomio ocurrió en el denominador de la integral anterior mediante el uso de complejos números) y luego mediante el uso de fracción parcial descomposición método integral!

Hay ningún método sencillo para encontrar el valor de la integral??!!

Answer 1

Uno puede recordar la función beta de Euler $$ B(a,b) = \int _0 ^ 1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}, $$ con un notable caso $ \int _0 ^ 1 x ^ {a-1}(1-x) ^ {-a} dx = \Gamma (a) \Gamma(1-a) = \frac {\pi} {\sin(\pi a)}. $$

Entonces, por el cambio de la variable $\displaystyle x=\frac{1}{1+t^{10}}$, que $\displaystyle t=x^{-1/10}(1-x)^{1/10}$, obtenemos $$ \int_0^\infty \frac{5t^6}{1+t^{10}}dt=\frac12\int _0 ^ 1 x^{-7/10}(1-x)^{7/10-1}dx=\frac{\pi}{2\sin(7\pi/10)} = \frac {\sqrt {5}-1} {2} \pi. $$

Answer 2

Su integral es $$ \int_0^{\infty} \frac{x^{7/5}}{1+x^2} \frac{dx}{x}. $$ La sustitución de $u=x^2$, $du/u=2dx/x$, la integral se convierte en $$ \frac{1}{2}\int_0^{\infty} \frac{u^{7/10}}{1+u} \, du $$ Ahora, $$ \frac{1}{1+u}= \int_0^{\infty} e^{-(1+u)\alpha} \, d\alpha, $$ y intercambiando el orden de integración da $$ \frac{1}{2}\int_0^{\infty} e^{-\alpha} \left( \int_0^{\infty} u^{7/10-1} e^{-\alpha u} \, du \right) \, d\alpha $$ Cambio de variables en el interior de la integral de la muestra tiene un valor $\alpha^{-7/10}\Gamma(7/10)$. Hacemos entonces $$ \frac{\Gamma(7/10)}{2} \int_0^{\infty} \alpha^{3/10-1} e^{-\alpha} \, d\alpha = \frac{\Gamma(7/10)}{2}\Gamma(3/10) = \frac{\pi}{2\sin{(3\pi/10)}}, $$ la que se realice por cualquier arcano de la trigonometría que tiene a la mano.

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Por otro lado, hay una forma más directa de llegar a la relación $$ \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{1+x} \, dx = \frac{\pi}{\sin{\pi s}}, \quad 0<\Re(s)<1. $$ Dividir la integral en dos a $x=1$: $$ \int_0^{1} \frac{x^{s-1}}{1+x} \, dx + \int_1^{\infty} \frac{x^{s-1}}{1+x} \, dx. $$ Ahora establezca $u=1/x$ en la segunda integral, y nos encontramos con $$ \int_0^{1} \frac{x^{s-1}}{1+x} \, dx + \int_0^{1} \frac{u^{1-s-1}}{1+u} \, du = \int_0^1 \frac{x^{s-1}+x^{-s}}{1+x} \, dx. $$ Y ahora vamos a utilizar un truco que vi en algunos de G. H. Hardy trabajo: ampliar el denominador una potencia de serie y cambiar el orden de integración (podemos comprobar esto es legal, más que suficiente): $$ \int_0^1 \frac{x^{s-1}+x^{-s}}{1+x} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^{\infty} (x^{n+s-1}+x^{n-s}) \, dx $$ Haciendo la integral da $$ \int_0^1 \frac{x^{s-1}+x^{-s}}{1+x} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{1}{n+s} + \frac{1}{n-s+1} \right) $$ El desplazamiento de la segunda términos por uno (que se puede comprobar es bueno por trucating las sumas, nos encontramos con $$ \int_0^{\infty} \frac{x^s}{1+x} \, dx = \frac{1}{s} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{1}{s+n}+\frac{1}{s-n} \right), $$ que es una expresión muy conocida por $\pi\csc{\pi s}$. (Que en realidad es lo que Hardy dice. Usted puede obtener usando series de Fourier, y así evitar tanto el análisis complejo y la función Gamma completo.)

Answer 3

Con algunas sustituciones y trabajos ordinarios en la integral tenemos $$\int0^\infty \frac{x^{\frac25}}{1+x^2}dx=\frac52\int{-\infty}^\infty\frac{t^6}{1+t^{10}}dt$ $ para cada $R\gt0$ tenemos $$\int{C}\frac{z^6}{1+z^{10}}dz=\int{-R}^R\frac{t^6}{1+t^{10}}dt+\int_{C_R}\frac{z^6}{1+z^{10}}dz$ $ $C_R$ Dónde está el contorno $Re^{it}$ $t\in [0,\pi]$ y $C=C_R\cup [-R,R]$ con dirección positiva.

ahora usando el teorema del residuo en el lado izquierdo de la ecuación anterior y dejar que $R\to\infty$ obtenemos $$\sum{i=1}^5 Res\left(\frac{z^6}{1+z^{10}},\zeta^i\right)=\int{-\infty}^\infty\frac{t^6}{1+t^{10}}dt$ $ porque $\int_{CR}\frac{z^6}{1+z^{10}}dz=o(R)$.
Para el cálculo de residuos que podemos utilizar los siguientes límites $$Res\left(\frac{z^6}{1+z^{10}},\zeta^i\right)=\lim{z\to\zeta^i}\frac{z^6(z-\zeta^i)}{1+z^{10}}$ $