Si $d^2|p^{11}$ donde $p$ es un primo, explique por qué $p|\frac{p^{11}}{d^2}$ .

Question

Si $d^2|p^{11}$ donde $p$ es un primo, explique por qué $p|\frac{p^{11}}{d^2}$ .

No estoy seguro de cómo demostrar esto de otra manera que no sea con ejemplos. Sólo he probado algunos ejemplos, y por lo que he podido ver $d=p^2$ . ¿Siempre es así?

Diga $p=3$ y $d=9$ . Así que, $9^2|3^{11}$ porque $\frac{3^{11}}{9^2}=2187$ . Por lo tanto, $3|\frac{3^{11}}{9^2}$ porque $\frac{2187}{3}=729$ . ¿Es satisfactoria la prueba con el ejemplo?

Ahora sé que la "prueba por el ejemplo" sólo es satisfactoria si "descarta" todas las posibilidades.

Le site prueba Estoy tratando de formar (gracias a las respuestas de abajo):

Cualquier factor de $p^{11}$ debe ser de la forma $p^{k}$ para algunos $k$ .

Si el factor tiene que ser un cuadrado, entonces debe ser de la forma $p^{2k}$ porque debe ser una potencia uniforme.

Ahora, podemos demostrar que $\rm\:p^{11}\! = c\,d^2\Rightarrow\:p\:|\:c\ (= \frac{p^{11}}{d^2})\:$ para algún número entero $c$ .

Obviamente veo cómo se logró que $c=\frac{p^{11}}{d^2}$ pero no veo cómo lo que se ha dicho demuestra que $p|\frac{p^{11}}{d^2}$ .

Answer 1

La "prueba con el ejemplo" no es una prueba en absoluto, por lo que definitivamente no es aceptable a mis ojos.

Cualquier factor de $p^{11}$ debe ser de la forma $p^{k}$ para algunos $k$ (¿ves por qué?)

Si el factor tiene que ser un cuadrado, entonces debe ser de la forma $p^{2m}$ (o no sería un cuadrado).

¿Puedes terminar la prueba a partir de ahí?

Answer 2

Por el teorema fundamental de la aritmética cualquier número se puede escribir como un producto único de primos. Si $p$ es primo, entonces la descomposición primo-potencia de $p^{11}$ es sólo $p^{11}.$

Si $d^2|p^{11}$ entonces claramente $d|p^{11}.$ Si $d|p^{11}$ entonces $d$ debe ser expresable como alguna potencia de $p$ , digamos que $d = p^k$ donde $k \le 11.$ Si $d = p^k$ entonces $d^2 = p^{2k}$ y sabemos que $d^2|p^{11}$ lo que implica que $2k \le 11.$ Desde $k$ es un número entero no negativo, se deduce que $k = 0, 1, 2, \ldots, 5.$

Si $d^2 = p^{2k}$ entonces $\frac{p^{11}}{d^2} = p^{11-2k}$ que, para todos los enteros $0 \le k \le 5$ es divisible por $p$ .

De hecho, el argumento funciona para todas las potencias Impares, mayores que 1, de $p$ es decir $p^3,p^5,p^7,p^9,\ldots$

Answer 3

Sugerencia $\ $ Basta con mostrar $\rm\:p^{11}\! = c\,d^2\Rightarrow\:p\:|\:c\ (= p^{11}\!/d^2).\:$ Lo hacemos comparando el paridad de los exponentes de $\rm\:p\:$ en ambos lados de la primera ecuación. Sea $\rm\:\nu(n) = $ el exponente de $\rm\,p\,$ en la única factorización prima de $\rm\,n.\:$ Por la singularidad $\rm\:\color{#C00}{\nu(m\,n) = \nu(m)+\nu(n)}\:$ para todos los enteros $\rm\:m,n\ne 0.\:$ Así,

$$\rm \color{#C00}{applying\,\ \nu}\ \ to\ \ p^{11}\! =\, c\,d^2\ \Rightarrow\ 11 = \nu(c) + 2\, \nu(d)$$

Por lo tanto, $\rm\:\nu(c)\:$ es impar, por lo que $\rm\:\nu(c) \ge 1,\:$ es decir $\rm\:p\mid c.\ \ $ QED

Answer 4

Las pruebas con ejemplos sólo son satisfactorias si sus ejemplos agotan las posibilidades.

Suponiendo que $d$ es positivo, podría tener sólo uno de $d=1,p,p^2,p^3,p^4$ o $p^5$ . Si puede demostrar que ésta es la lista de todas las posibilidades, puede verificar la afirmación tratando estos 6 casos uno por uno.

Se puede simplificar aún más combinándolos en un solo caso $d=p^k$ con $0\le k\le 5$ .

Answer 5

En el siguiente $p$ es un primo y $a,c,d,k,n \in \mathbb{N}$ . Tenga en cuenta lo siguiente:

1. Si $a^2=p^k$ entonces $k$ está en paz. Esto se desprende de teorema de la factorización única .
2. Si $a|p^{n}$ entonces $a=p^k$ para algunos $k \leq n$ . Escriba $p^k=c \cdot a$ y utilizar de nuevo teorema de la factorización única .

Desde $d^2|p^{11}$ de 1 y 2 concluimos que $d^2=p^k$ para un $k$ con $k \leq 11$ . Porque $k$ es incluso $ \Rightarrow k < 11$ .

Por lo tanto, $\frac{p^{11}}{d^2}=p^{11-k}$ . Desde $11-k>0 \Rightarrow 11-k\geq 1 \Rightarrow p|\frac{p^{11}}{d^2}$ .