Como el OP ha mencionado, tenemos
$$
\forall \lambda \in \mathbb{R}_{> 0}: \quad
T_{\lambda} \stackrel{\text{df}}{=}
\lambda (\lambda I - A)^{-1} - I \B(\mathcal{H}) \quad \text{y} \quad
\| T_{\lambda} \|_{B(\mathcal{H})} \leq \rho.
$$
Esto es una consecuencia del siguiente teorema, cuya declaración se encuentra en el Teorema $ 13.35 $ de Walter Rudin del Análisis Funcional:
Teorema. Deje $ (T(t))_{t \geq 0} $ $ C_{0} $- semigroup en un espacio de Hilbert $ \mathcal{H} $. Denotar su generador infinitesimal por $ A $. Si $ C \in \Bbb{R}_{> 0} $ $ \gamma \in \Bbb{R} $ son constantes tales que $ \| T(t) \|_{B(\mathcal{H})} \leq C e^{\gamma t} $ por cada $ t \in \Bbb{R}_{\geq 0} $, entonces para cualquier $ \lambda \in \Bbb{C} $ satisfacción $ \Re(\lambda) > \gamma $, el mapa de $ R_{\lambda}: \mathcal{H} \to \mathcal{H} $ definido por
$$
\forall x \in \mathcal{H}: \quad
{R_{\lambda}}(x) \stackrel{\text{df}}{=}
\int_{0}^{\infty} e^{- \lambda t} \cdot [T(t)](x) ~ \mathrm{d}{t}
$$
es una bien definida y delimitada lineal operador (llamado el resolvent de $ (T(t))_{t \geq 0} $$ \lambda $) que tiene las dos propiedades siguientes:
- Su rango es de $ \text{Dom}(A) $.
- Invierte $ \lambda I - A $.
El dado de la asunción de nuestra $ C_{0} $-semigroup $ (T(t))_{t \geq 0} $ es que
$$
\forall t \en \Bbb{R}_{\geq 0}: \quad
\| T(t) - I \|_{B(\mathcal{H})} \leq \rho < 1.
$$
Por lo tanto, si elegimos $ C = 1 + \rho $$ \gamma = 0 $, luego
$$
\forall t \en \Bbb{R}_{\geq 0}: \quad
\| T(t) \|_{B(\mathcal{H})} \leq C e^{\gamma t}.
$$
Fix $ \lambda \in \Bbb{R}_{> 0} $ para el momento presente. Por el teorema, tenemos
$$
(\heartsuit) \qquad
\forall x \in \mathcal{H}: \quad
{(\lambda I - A)^{-1}}(x)
= \int_{0}^{\infty} e^{- \lambda t} \cdot [T(t)](x) ~ \mathrm{d}{t}.
$$
Utilizando el hecho de que $ \displaystyle \int_{0}^{\infty} \lambda e^{- \lambda t} ~ \mathrm{d}{t} = 1 $, también tenemos
$$
(\diamondsuit) \qquad
\forall x \in \mathcal{H}: \quad
x = \int_{0}^{\infty} \lambda e^{- \lambda t} \cdot x ~ \mathrm{d}{t}.
$$
Multiplicando $ (\heartsuit) $ $ \lambda $ y restando $ (\diamondsuit) $ a partir de que los rendimientos de
\begin{align}
\forall x \in \mathcal{H}: \quad
{T_{\lambda}}(x)
& = \left( \lambda (\lambda I - A)^{-1} - I \right) \! (x) \\
& = \int_{0}^{\infty} \lambda e^{- \lambda t} \cdot [T(t) - I](x) ~ \mathrm{d}{t}.
\end{align}
Por lo tanto, obtener
\begin{align}
\forall x \in \mathcal{H}: \quad
\| {T_{\lambda}}(x) \|_{\mathcal{H}}
& \leq \int_{0}^{\infty}
\left\|
\lambda e^{- \lambda t} \cdot [T(t) - I](x)
\right\|_{B(\mathcal{H})} ~ \mathrm{d}{t} \\
& \leq \int_{0}^{\infty}
\lambda e^{- \lambda t} \cdot
\| T(t) - I \|_{B(\mathcal{H})} \cdot \| x \|_{\mathcal{H}} ~
\mathrm{d}{t} \\
& \leq \left( \int_{0}^{\infty} \lambda e^{- \lambda t} ~ \mathrm{d}{t} \right)
\rho \| x \|_{\mathcal{H}} \\
& = \rho \| x \|_{\mathcal{H}}.
\end{align}
Por lo tanto, $ \| T_{\lambda} \|_{B(\mathcal{H})} \leq \rho $, como se desee.
Reclamo: $ \text{Dom}(A) = \mathcal{H} $ $ A \in B(\mathcal{H}) $.
Prueba de Reclamación
Como $ \| T_{\lambda} \| \leq \rho < 1 $, un resultado estándar acerca de álgebras de Banach nos dice que $ I + T_{\lambda} $ es un elemento invertible de $ B(\mathcal{H}) $ cuya inversa es la geométrica de la serie
$$
\sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^{k} \cdot (T_{\lambda})^{k}.
$$
Como $ I + T_{\lambda} = \lambda (\lambda I - A)^{-1} $, obtenemos
\begin{align}
\text{Dom}(A)
& = \text{Range} \! \left( (\lambda I - A)^{-1} \right) \\
& = \text{Range} \! \left( \lambda (\lambda I - A)^{-1} \right) \\
& = \text{Range}(I + T_{\lambda}) \\
& = \mathcal{H}. \qquad
(\text{As %#%#% is invertible, hence surjective.})
\end{align}
Como $ I + T_{\lambda} $ es un cerrado operador (este es un estándar de hecho en la teoría de la $ A $-semigroups), se deduce que el $ C_{0} $. (Nota: Por Cerrado el Gráfico Teorema, una cerrada operador que está definido en todas partes está acotada.) $ A \in B(\mathcal{H}) $
Observe ahora que
$$
\frac{1}{\lambda} (\lambda I - a).
= (I + T_{\lambda})^{-1}
= \sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^{k} \cdot (T_{\lambda})^{k},
$$
así
$$
\left\| \frac{1}{\lambda} (\lambda I - A) \right\|_{B(\mathcal{H})}
\leq \sum_{k = 0}^{\infty} \| T_{\lambda} \|_{B(\mathcal{H})}^{k}
\leq \sum_{k = 0}^{\infty} \rho^{k}
= \frac{1}{1 - \rho}.
$$
De ello se deduce fácilmente que
$$
(\spadesuit) \qquad
\| \lambda I - \|_{B(\mathcal{H})} \leq \frac{\lambda}{1 - \rho}.
$$
Deje $ \quad \blacksquare $. El lado izquierdo de $ \lambda \to 0^{+} $$ (\spadesuit) $, mientras que el lado derecho va a $ \| A \|_{B(\mathcal{H})} $. Por el Teorema del sándwich, $ 0 $, por lo que llegamos a la conclusión deseada que $ \| A \|_{B(\mathcal{H})} = 0 $.
