Quiero mostrar la siguiente:
$X$ $n$-conectada $\iff $ cualquier mapa continuo $f:K \rightarrow X$ donde $K$ es una célula compleja de dimensión $\leq n$ es homotópica a una constante mapa
Para esto creo que se puede utilizar el siguiente: $X$ $n$-conectada $\iff $ cada mapa continuo $f: S^n \rightarrow X$ es homotópica a una constante mapa.
Prueba:
"$\Leftarrow$"
Si cualquier mapa continuo $f:K \rightarrow X$ donde $K$ es una célula compleja de dimensión $\leq n$ es homotópica a una constante mapa, a continuación, cualquier $f: S^n \rightarrow X$ es homotópica a una constante mapa. Por lo $X$ $n$- conectado.
"$\Rightarrow$"
No estoy seguro de cómo proceder en este sentido. Sé $X$ $n$- conectado y por lo $\pi_i (X) = 0$ todos los $i \leq n$. También sé que cualquier $f: S^i \rightarrow X$ es nulo homotópica.
Cómo proceder a partir de aquí? Muchas gracias por tu ayuda!
