Es un empuje de una inmersión cerrada $f$ ¿de nuevo una inmersión cerrada?

Question

Supongamos que $$ \begin{eqnarray} X&\xrightarrow{f}& Y\\ \downarrow && \downarrow\\ Z&\xrightarrow{f'}& W \end{eqnarray} $$ es un empuje en la categoría de esquemas (y en particular $W$ es un esquema).

Es $f'$ una inmersión cerrada (resp. abierta), si $f$ ¿es una inmersión cerrada (o abierta)?

Esto es cierto si se sustituye ''esquema'' por ''espacio topológico'' y ''inmersión'' sólo por ''mapa'' o ''incrustación''.

Answer 1

Esta pregunta es bastante difícil de responder, ya que los empujes en la categoría de esquemas no existen en general, incluso a lo largo de inmersiones cerradas. Y es difícil determinar si un morfismo es una inmersión cerrada cuando sólo se conoce una propiedad universal. Pero eche un vistazo a "Conducteur, Descent et Pincement" de Daniel Ferrand y "Gluing Schemes and a Scheme Without Closed Points" de Karl Schwede, estos trabajos están disponibles en línea. Karl Schwede demuestra lo siguiente: Si $X,Y,Z$ son afines, entonces $W$ existe y es afín, y de hecho $f'$ es una inmersión cerrada. Esto se reduce a la observación de que en la categoría de anillos conmutativos $A \times_B C \to C$ es suryente cuando $A \to B$ es suryente. Si $X,Y,Z$ son esquemas generales, $f : X \to Y$ y $X \to Z$ son inmersiones cerradas, cuando $W$ existe y $f'$ es una inmersión cerrada. Para resultados más generales, véase el artículo de Ferrand o MO/64294 .