$\lim_{\,n\to\infty}\frac{S(n)}{n\pi(n)}$

Question

Que $S(n)$ sea la suma de números primos menos o igual a $n$. Supongo que $\lim_{\,n\to\infty}\frac{S(n)}{n\pi(n)}$ existe y es igual a $0$ pero no puedo probarlo. He iniciado a duda pero si mi suposición es verdad quiero una prueba de que no utiliza el teorema del número primo.

Answer 1

No es difícil expresar $S(n)$ $\pi(n)$:\begin{align}\sum{p\le n, prime}p&=\sum^n{k=2}k\,(\pi(k)-\pi(k-1)) \&=\sum^n{k=2}(k\,\pi(k)-(k-1)\,\pi(k-1))-\sum^n{k=2}\pi(k) \&=n\,\pi(n)-\sum^n{k=2}\pi(k) \end{align} ahora según el teorema del número primo, $$\lim{n\to\infty}\frac{n\,\,\pi(n)}{\frac{n^2}{\ln n}}=1,$ $ y según el Teorema de Stolz-Cesàro , $$\lim{n\to\infty}\frac{\sum^n{k=2}\pi(k)}{\frac{n^2}{\ln n}}=\lim{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{\frac{n^2}{\ln n}-\frac{(n-1)^2}{\ln (n-1)}}=\frac12,$ $ tenemos $$\lim{n\to\infty}\frac{S(n)}{n\,\pi(n)}=\frac{1-\frac12}{1}=\frac12.$ $

Answer 2

Como se muestra en esta respuesta, $$\begin{align} S(n) &=\sum_{p\le n}p\ &=\frac12\frac{n^2}{\log(n)}+O\left(\frac{n^2}{\log(n)^2}\right) \end {alinee el} $$ desde $ n\,\pi(n)=\frac{n^2}{\log(n)}+O!\left(\frac{n^2}{\log(n)^2}\right) $$ contamos con \frac{S(n)}{n\,\pi(n)}=\frac12+O!\left(\frac1{\log(n)}\right) $$ $$