Desviación media absoluta vs. desviación estándar

Question

En el libro de texto "New Comprehensive Mathematics for O Level" de Greer (1983), veo que la desviación promedio se calcula de la siguiente manera:

Suma las diferencias absolutas entre los valores individuales y la media. Luego obtén su promedio. A lo largo del capítulo se utiliza el término desviación media.

Pero recientemente he visto varias referencias que utilizan el término desviación estándar y esto es lo que hacen:

Calculan los cuadrados de las diferencias entre los valores individuales y la media. Luego obtienen su promedio y finalmente la raíz de la respuesta.

Probé ambos métodos en un conjunto común de datos y sus respuestas difieren. No soy estadístico. Me confundí al intentar enseñar desviación a mis hijos.

Entonces, en resumen, ¿los términos desviación estándar y desviación media son lo mismo o es incorrecto mi antiguo libro de texto?

Answer 1

Ambos responden a qué tan lejos están distribuidos tus valores alrededor de la media de las observaciones.

Una observación que está 1 por debajo de la media está igualmente "lejos" de la media que un valor que está 1 por encima de la media. Por lo tanto, debes ignorar el signo de la desviación. Esto se puede hacer de dos maneras:

• Calcular el valor absoluto de las desviaciones y sumarlas.

• Elevar al cuadrado las desviaciones y sumar estos cuadrados. Debido al cuadrado, le das más peso a las desviaciones altas, por lo que la suma de estos cuadrados será diferente de la suma de las medias.

Después de calcular la "suma de desviaciones absolutas" o la "raíz cuadrada de la suma de desviaciones al cuadrado", promedias para obtener la "desviación media" y la "desviación estándar" respectivamente.

La desviación media rara vez se utiliza.

Answer 2

Ambos miden el mismo concepto, pero no son iguales.

Estás comparando $\frac{1}{n} \sum |x_i-\bar{x}|$ con $\sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i-\bar{x})^2}$. No son iguales por dos razones:

En primer lugar, el operador de raíz cuadrada no es lineal, es decir, $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Por lo tanto, la suma de desviaciones absolutas no es igual a la raíz cuadrada de la suma de desviaciones al cuadrado, aunque la función absoluta se puede representar como la función cuadrada seguida de una raíz cuadrada:
$\sum|x_i-\bar{x}| = \sum \sqrt{(x_i-\bar{x})^2} \neq \sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}$
ya que la raíz cuadrada se toma después de que se haya calculado la suma.

En segundo lugar, $n$ también está bajo la raíz cuadrada en el cálculo de la desviación estándar.

Intenta calcular $\frac{1}{n}\sum \sqrt{(x_i-\bar{x})^2}$ - debería arrojar la misma respuesta que la desviación media y ayudarte a comprender.

La razón por la que se prefiere la desviación estándar es porque es matemáticamente más fácil de trabajar más adelante, cuando los cálculos se vuelven más complicados.

Answer 3

@itsols, agregaré a la importante noción de Kasper que La desviación media rara vez se utiliza. ¿Por qué se considera que la desviación estándar es generalmente una mejor medida de variabilidad que la desviación media absoluta? Porque el promedio aritmético es el lugar del mínimo sumatorio de desviaciones al cuadrado (y no del sumatorio absoluto) de él.

Supongamos que quiere evaluar el grado de altruismo. Entonces probablemente no preguntará a una persona cuánto está dispuesta a dar dinero en una "situación general" de la vida. Más bien, elegirá preguntar cuánto está dispuesta a hacerlo en una situación constreñida, donde tiene los recursos mínimos posibles para su propia vida. Es decir, ¿cuál es la cantidad de altruismo individual en la situación cuando esa cantidad es el mínimo del individuo?

De la misma manera, ¿cuál es el grado de variabilidad de estos datos? Intuitivamente, el mejor índice de medición para ello es aquel que se minimiza (o maximiza) hasta el límite en este contexto. El contexto es "alrededor de la media aritmética". Entonces la desviación estándar es la mejor elección en este sentido. Si el contexto fuera "alrededor de la mediana", entonces la desviación media |absoluta| sería la mejor elección, porque la mediana es el lugar del mínimo sumatorio de desviaciones absolutas de ella.

Answer 4

Una cosa que vale la pena agregar es que la razón más probable por la que su libro de texto de 30 años utilizó la desviación media absoluta en lugar de la desviación estándar es que es más fácil de calcular a mano (sin cuadrar / raíces cuadradas). Ahora que las calculadoras son fácilmente accesibles para los estudiantes de secundaria, no hay razón para no pedirles que calculen la desviación estándar.

Todavía hay algunas situaciones en las que se utilizan desviaciones absolutas en lugar de desviaciones estándar en el ajuste de modelos complejos. Las desviaciones absolutas son menos sensibles a los valores atípicos extremos (valores lejos de la media / línea de tendencia) en comparación con las desviaciones estándar porque no cuadran esa distancia antes de sumarla a los valores de otros puntos de datos. Dado que los métodos de ajuste de modelos buscan reducir la desviación total de la línea de tendencia (según el método de cálculo de desviación), los métodos que utilizan la desviación estándar pueden terminar creando una línea de tendencia que se aleja de la mayoría de los puntos para estar más cerca de un valor atípico. El uso de desviaciones absolutas reduce esta distorsión, pero a costa de hacer que el cálculo de la línea de tendencia sea más complicado.

Esto se debe a que, como han señalado otros, la desviación estándar tiene propiedades matemáticas y relaciones que generalmente la hacen más útil en estadística. Pero "útil" nunca debe confundirse con perfecto.

Answer 5

Son medidas similares que intentan cuantificar la misma noción. Normalmente se utiliza la desviación estándar ya que tiene propiedades agradables, si se hace alguna suposición sobre la distribución subyacente.

Por otro lado, el valor absoluto en la desviación media causa algunos problemas desde una perspectiva matemática ya que no se puede diferenciar y no se puede analizar fácilmente. Alguna discusión aquí.