Los valores propios son exactamente los mismos. Los vectores propios son los vectores de coordenadas relativas a $\mathcal{D}$ de los vectores propios originales.
La intuición. La representación matricial de $A$ con respecto a otra base da el mismo transformación lineal, sólo que en un lenguaje ligeramente diferente; sólo estás haciendo un "cambio de coordenadas"; pero la acción sobre los vectores (no sobre sus nombres, sino los vectores reales) sigue siendo la misma. Como la acción es la misma, los valores y vectores propios son los mismos, sólo que "traducidos" a las nuevas coordenadas. Los escalares (valores propios) no necesitan ser trasladados, por lo que siguen siendo los mismos.
Dicho de otro modo: cambiar la base y encontrar las representaciones relativas a la nueva base es como traducir a otro idioma. Si tomamos una novela o una obra de teatro escrita en inglés (la base estándar) y la traducimos, por ejemplo, al español (la base diferente $\mathcal{D}$ ), los nombres de los personajes pueden cambiar (Enrique puede convertirse en Enrique, Juana de Arco puede convertirse en Juana de Arco), pero los personajes seguirán realizando las mismas acciones en español que en inglés. La trama no cambia sólo porque hayas traducido, aunque las palabras utilizadas para describir la trama sí han cambiado.
Prueba. Para ver que los valores propios son los mismos, observe que $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y sólo si $(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ tiene una solución no trivial. Si $\mathcal{D}$ es una nueva base para $V$ y dejamos que $Q$ sea la matriz de cambio de base de $\mathcal{D}$ a la base estándar (es decir, la matriz cuyas columnas son los vectores de $\mathcal{D}$ ), entonces la matriz de coordenadas de $A$ en relación con la base $\mathcal{D}$ es $Q^{-1}AQ$ .
Si $\mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ es una solución a $(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ entonces $Q^{-1}\mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ (ya que $Q$ es invertible), y $$(Q^{-1}AQ - \lambda I)(Q^{-1}\mathbf{x}) = Q^{-1}AQQ^{-1}\mathbf{x}-\lambda Q^{-1}\mathbf{x} = Q^{-1}A\mathbf{x} - Q^{-1}\lambda \mathbf{x} = Q^{-1}(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0},$$ así que $\lambda$ es también un valor propio de $Q^{-1}AQ$ .
Ahora repite el argumento con $B=Q^{-1}AQ$ pero pasando de $\mathcal{D}$ a la base original para concluir que si $\lambda$ es un valor propio de $Q^{-1}AQ$ entonces también es un valor propio de $A$ .
Así que los valores propios son idénticos.
Y como vimos anteriormente, si $\mathbf{x}$ es un vector propio de $A$ correspondiente a $\lambda$ entonces $Q^{-1}\mathbf{x}$ es un vector propio de $Q^{-1}AQ$ correspondiente a $\lambda$ Pero $Q^{-1}\mathbf{x}$ es sólo el vector de coordenadas de $\mathbf{x}$ con respecto a la base $\mathcal{D}$ .
Ejemplo. Toma $$A = \left(\begin{array}{cr} -3 & -8\\ 4 & 9 \end{array}\right).$$ El determinante de la matriz es $5$ y el rastro es $6$ por lo que los valores propios suman $6$ y multiplicar hasta $5$ . Por lo tanto, los valores propios son $\lambda=5$ y $\lambda=1$ . Los vectores propios correspondientes a $1$ son todos múltiplos no nulos de $(2,-1)$ los vectores propios correspondientes a $5$ son los múltiplos no nulos de $(1,-1)$ .
Ahora elige una nueva base, digamos $\mathcal{D}=[(1,1), (-1,1)]$ . En relación con esta base, tenemos que la matriz de cambio de base de $\mathcal{D}$ a la base estándar es la matriz $Q$ cuyas columnas son los vectores de $\mathcal{D}$ Así que..: $$Q = \left(\begin{array}{rr} 1 & -1\\ 1 & 1\end{array}\right),\qquad Q^{-1} = \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right),$$ por lo que la matriz de coordenadas de (la transformación lineal dada por la multiplicación por) $A$ en relación con $\mathcal{D}$ es $[A]_{\mathcal{D}}$ , donde $$[A]_{\mathcal{D}} = Q^{-1}AQ = \left(\begin{array}{rr}1 & 0\\12 & 5\end{array}\right).$$ Se puede ver que los valores propios siguen siendo $1$ y $5$ .
En cuanto a los vectores propios, las matrices de coordenadas de los antiguos vectores propios relativas a $\mathcal{D}$ son: $$ Q^{-1}\left(\begin{array}{r}2\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{1}{2}\\ -\frac{3}{2}\end{array}\right),\qquad\text{and}\qquad Q^{-1}\left(\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0\\-1\end{array}\right)$$ y se puede comprobar fácilmente que los vectores propios de $[A]_{\mathcal{D}}$ correspondiente a $5$ son múltiplos no nulos de $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ y los vectores propios de $[A]_{\mathcal{D}}$ correspondiente a $1$ son los múltiplos no nulos de $(0,-1)$ . (Que son "realmente" lo mismo que los vectores originales, sólo que descritos "en español" [en relación con $\mathcal{D}$ ] en lugar de "en inglés" [en relación con la base estándar]).
