Clases de Chern mediante conexiones

Question

Deje $M$ ser un suave real colector y $B$ un Hermitian vector paquete sobre él. A continuación, se puede definir como en las clases de Chern

$$c(B)=\sum c_i(B)t^i=\det \left( I+\frac{it\Omega}{2\pi} \right) \in H_{DR}^*(M),$$

donde $\Omega$ es la curvatura de la forma de cualquier conexión de $\nabla$$B$.

Me estoy preguntando por qué es necesario para $B$ a ser Hermitian. Mis ideas son:

1) de lo Contrario, dependerá de la elección de una conexión. Pero uno puede considerar $(M, g)$ de Riemann y tomar como $\nabla$ Levi-Civita de conexión, a continuación, functoriality y Whitney suma fórmula parece que todavía funcionan.

2) No es algo complejo en la idea de la curvatura. Parece extraño que la curvatura es puramente imaginaria (debido a $i\Omega$ debe estar en el real de-Rham cohomology). Tal vez, la conexión debe ser compatible con Hermitian métrica?

Answer 1

Deje $B \longrightarrow M$ ser un rango de $k$ vector complejo paquete. Tenga en cuenta que una elección de Hermitian métrica en $B \longrightarrow M$ reduce la estructura de grupo de$\mathrm{GL}(k,\Bbb C)$$\mathrm{U}(k)$. Cualquier otra opción de Hermitian métrica dará una isomorfo reducción. De ahí la elección de Hermitian métrica no hace ninguna diferencia en nuestro estudio de la $B \longrightarrow M$ como un vector complejo paquete.

Para definir el Chern polinomio como un polinomio con coeficientes reales, tenemos que asumir $\nabla$ es un Hermitian relación con el respeto a nuestro elegido Hermitan métrica. La razón de esto es como sigue. Una conexión arbitrarios $\nabla$ tendrá curvatura $\Omega$, que será un $\mathfrak{gl}(B)$valores $2$-forma. Aquí $\mathfrak{gl}(B)$ denota el espacio de paquete endomorphisms de $B \longrightarrow M$. Por otro lado, si $\nabla$ es un Hermitian conexión, entonces la curvatura $\Omega$ $\mathfrak{u}(B)$valores $2$ -, donde se $\mathfrak{u}(B)$ denota el espacio de sesgar-Hermitian paquete endomorphisms de $B \longrightarrow M$. Los valores de asimetría-Hermitian endomorphisms son puramente imaginarios, por lo que para Hermitian $\nabla$, el Chern polinomio tiene coeficientes reales.