¿Cómo ponemos una estructura de grupo en $K(G,n)$ que lo hace un Grupo topológico?
Sé que $\Omega K(G,n+1)=K(G,n)$ y ya que tenemos un producto de lazos lo $K(G,n)$ en un H-espacio. Pero, ¿por qué siendo un Grupo topológico?
Respuestas
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Dr Smit Shrivastava
Puntos
7
La clasificación estándar espacio functor $B$ de grupos topológicos a espacios topológicos es producto de preservación, por lo que toma grupos topológicos abelian grupos topológicos abelian. Empezaré con un abelian grupo $G$ como un Grupo topológico discreto, para que un $K(G,0)$. Aplique el functor $B$ iterativamente $n$ veces para llegar a $B^nG$, que es un Grupo topológico abelian y un $K(G,n)$.
// Esta es esencialmente la misma respuesta que Qiaochu Yuan eliminado por algún motivo. Por lo tanto CW.
Por el Dold-Thom teorema $\pi_\bullet(\mathbb Z[X])=H_\bullet(X)$ donde $\mathbb Z[X]$ es el libre abelian grupo generado por $X$. Tenga en cuenta que $\mathbb Z[X]$ nunca está conectado ($\pi_0(\mathbb Z[X])=H_0(X)\supset\mathbb Z$) pero se ha reducido versión: (fijar un punto de $x_0\in X$ y definir) $\widetilde{\mathbb Z[X]}:=\mathbb Z[X]/\mathbb Z[x_0]$ -$\pi_\bullet\widetilde{\mathbb Z[X]}=\tilde H_\bullet(X)$.
// Comentario 1. En realidad (para la conexión de la $X$, al menos), $\widetilde{\mathbb Z[X]}$ es homotopy equivalente a la libre abelian monoid generado por $X$$x_0$, ya que la unidad (aka $Sym^\infty(X):=\operatorname{colim}_{+x_0}Sym^n(X)$) que se utiliza en la formulación de la Dold-Thom teorema de la, digamos, nLab.
Ahora, es fácil construir un Moore espacio de $M(G,n)$ s.t. $\tilde H_n(M(G,n))=G$ y todos los demás (reducida) homología de grupos de $M(G,n)$ son cero. Y por Dold-Thom teorema de topológico grupo abelian $\widetilde{\mathbb Z[M(G,n)]}$ ha homotopy tipo de $K(G,n)$.
// Nota 2. En particular, $\widetilde{\mathbb Z[S^2]}$ es topológico, abelian grupo con homotopy tipo de $\mathbb CP^\infty$. (Se ve más explícito para mí que la mayoría de las respuestas en MO.)
Upd. Es incluso más fácil de usar $\widetilde{G[S^n]}\cong K(G,n)$.
Referencia: M. C. McCord, la Clasificación de los espacios infinito y simétrico de los productos, las Transacciones de la Sociedad Matemática Americana 146 (1969), 273-298.
Ver def. en el strart de 5 Segundos ($B(G,X)$ mi $\widetilde {G[X]}$), Prop. 6.6 (si $G$ es abelian grupo, por lo que es $B(G,X)$), Cor. 10.6 ($\widetilde{G[S^n]}$ es un grupo abelian de homotopy tipo de $K(G,n)$), Thm 11.4 (Dold-Thom tipo de teorema yo uso; indicado para cualquier basados $X$ tener homotopy tipo de CW complejo).
Otra manera de encontrar homotopy tipo de $\mathbb Z[X]$ es observar que si $X$ es cofibrant (e.g es un CW complejo), $|X^\Delta|\to X$ (donde $X^\Delta$ es el conjunto simplicial de singular simplices en $X$) es un homotopy de equivalencia, por lo $\mathbb Z[X]\cong |\mathbb Z[X^\Delta]|$; ahora, por Dold-Kan correspondencia homotopy grupos de $\mathbb Z[X^\Delta]$ coinciden con homología grupo de los correspondientes complejos - que es exactamente singular complejo de $X$.
Mark Dorsey
Puntos
11
Así, un intervalo es un $K({e},1)$, donde ${e}$ es el Grupo trivial, y un intervalo no tiene ninguna estructura de grupo que puede hacer un Grupo topológico (cada mapa continuo tiene un punto fijo). Sin duda hay un %#% de #% por ahí que no se puede hacer en grupos topológicos. Tal vez si refinan la pregunta podría haber algún tipo de respuesta.
