Intercambio de integración y la suma y la expansión de Taylor

Question

Supongamos que tenemos una limitada función de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}$. Quiero calcular $$ \int_\mathbb{R} e^{-x^2} f(x) dx $$

Por supuesto, esta integral existe. Sé que $f$ tiene una expansión de Taylor, que es válido para todos los de $\mathbb{R}$, dicen $$ f(x)=\sum_{r=0}^\infty a_r \frac{x^r}{r!} $$

Es cierto en general que

$$ \int_\mathbb{R} e^{-x^2} f(x) dx = \sum_{r=0}^\infty \frac{a_r}{r!} \int_\mathbb{R} e^{-x^2} x^r dx$$

Por supuesto, todas las integrales en el lado derecho también existen. Sin embargo, no puedo utilizar el teorema de la convergencia uniforme, ya que la expansión de Taylor no converge uniformemente en $\mathbb{R}$ pero, por supuesto, en cualquier subconjunto compacto. Así que mi conjetura es que esto de la igualdad debe mantener de todos modos, en particular a partir de la suma no es un wierdly construido contraejemplo pero un habitual de series de Taylor.

¿Cómo podría yo demostrar un resultado. De hecho, yo no necesariamente tienen que saber cómo probar pero sólo lo saben. Hay alguna referencia?

Answer 1

Suma más de $\mathbb{N}$ es en realidad la integración con respecto a una medida con discretos "átomos", que es una medida definida en $\mathbb{N}$ que asigna un número real o complejo a cada número natural.

En nuestro caso, se puede definir una medida $\mu$ $\mathbb{N}$ a través de $$ \mu (r) := \frac{a_r}{r!} $$ Si estamos próximos a definir una función en el producto medir el espacio $(\mathbb{R}, d x) \times (\mathbb{N}, \mu)$ a través de $$ g(x, r) := \exp(- x^2) x^r $$ entonces tu pregunta se convierte en un candidato para una aplicación del teorema de Fubini.

Edit: para evitar la toma de $\mu$ firmado medida, podemos redefinir $$ \mu (r) := \frac{1}{r!} $$ y $$ g(x, r) := a_r \; \exp(- x^2) \; x^r $$

La pregunta es, por supuesto: son los coeficientes de $a_r$ de manera tal que el teorema de Fubini es aplicable? Que depende de los coeficientes, por supuesto...