Para cualquier $a,b\in\mathcal C^0([0,1])$, vamos a $T_{a,b}:\mathcal C^2([0,1])\to\mathcal C^0([0,1])$ ser lineal mapa definido por $$T_{a,b}f(x)=a(x)\, f'(x)+b(x)\, f''(x)\, . $$
En primer lugar, observe que si $b(x)\geq 0$ todos los $x\in(0,1)$, $T_{a,b}$ tiene la propiedad requerida (para cualquier $a$). De hecho, si $f\in\mathcal C^2([0,1])$ tiene un mínimo local en algún punto de $x_0\in (0,1)$,$f'(x_0)=0$$f''(x_0)\geq 0$; por lo $T_{a,b}f(x_0)=b(x_0)f''(x_0)\geq 0$.
Por el contrario, vamos a mostrar que cualquier $T$ con la anterior propiedad que tiene la forma de $T=T_{a,b}$ con un en todas partes no negativo $b$.
Fijemos $x_0\in (0,1)$.
En primer lugar, observe que si una función $f\in\mathcal C^2([0,1])$ satisface $f'(x_0)=0$$f'(x_0)>0$, $f$ tiene un mínimo local en a $x_0$, y por lo tanto debemos tener $Tf(x_0)\geq 0$. A continuación, considere una función de $f$ tal que $f'(x_0)=0$$f''(x_0)\geq 0$. Entonces, para cualquier $\varepsilon>0$, la función de $f_\varepsilon$ definido por $f_\varepsilon (x)=f(x)+\varepsilon\, (x-x_0)^2$ satisface $f'_\varepsilon (x_0)$$f''(x_0)=f''(x_0)+2\varepsilon >0$; por tanto, debemos tener $Tf_{\varepsilon}(x_0)\geq 0$. Ahora, denotando por $u_0$ la función de $x\mapsto (x-x_0)^2$,$f_\varepsilon=f+\varepsilon u_0$, por lo que (por la linealidad) $Tf_\varepsilon=Tf+\varepsilon Tu_0$. De ello se desprende que $Tf(x_0)+\varepsilon Tu_0(x_0)\geq 0$, para cualquier $\varepsilon >0$, y, por tanto,$Tf(x_0)\geq 0$.
Hasta ahora, hemos demostrado que para cualquier $f$ tal que $f'(x_0)=0$$f''(x_0)\geq 0$,$Tf(x_0)\geq 0$. De esto se sigue que si una función $f$ satisface $f'(x_0)=0$$f''(x_0)\leq 0$,$Tf(x_0)\leq 0$: sólo hay que aplicar el resultado anterior para $-f$.
Por lo tanto, tenemos la siguiente: si $f\in\mathcal C^2([0,1])$ satisface $f'(x_0)=0$$f''(x_0)=0$,$Tf(x_0)=0$.
Esto puede ser reescrito de la siguiente manera. Considerar los funcionales lineales $\delta'_{x_0}$ $\delta''_{x_0}$ definido (en $\mathcal C^2([0,1])$)$\delta'_{x_0}(f)=f'(x_0)$$\delta''_{x_0}(f)=f''(x_0)$, y denotan por $T_{x_0}$ lineal funcional $f\mapsto Tf(x_0)$. A continuación, el resultado que hemos obtenido lee:
$$\ker(\delta'_{x_0})\cap\ker(\delta''_{x_0})\subset\ker(T_{x_0})\, . $$
A partir de esto, se puede deducir (este es un estándar de álgebra lineal resultado) que el funcional lineal $T_{x_0}$ es una combinación lineal de $\delta'_{x_0}$$\delta''_{x_0}$. En otras palabras, uno puede encontrar los coeficientes de $a(x_0)$ $b(x_0)$ tal que
$$\forall f\in\mathcal C^2([0,1])\;:\; Tf(x_0)=a(x_0)\, f'(x_0)+b(x_0)\, f''(x_0)\, .$$
Ahora, vamos a $x_0$ variar: esto le da dos funciones $a,b$ $(0,1)$ de manera tal que el lineal mapa de $T$ está dado por
$$Tf(x)=a(x)\, f'(x)+b(x)\, f''(x)\, .$$
Si tomamos $f_1(x)=x$,$f'_1(x)\equiv 1$$f''(x)\equiv 0$, por lo que el $Tf_1(x)=a(x)$ todos los $x\in (0,1)$. Esto muestra que la función de $a$ es continua en a $[0,1]$ y, además, se puede extender a una función continua en a $[0,1]$ (todavía denota por $a$). Si tomamos $f_2(x)=\frac{x^2}2$,$f'_2(x)\equiv x$$f''(x)\equiv 1$, por lo que el $Tf_2(x)\equiv a(x)\, x+b(x)$. Desde $a$ ya es conocido por ser continuo, esto muestra que $b$ es continua en a $(0,1)$ y puede ser extendida a una función continua en a $[0,1]$ (todavía denota por $b$). Por último, si corregimos $x_0\in (0,1)$ y considere la función $f(x)=\frac{(x-x_0)^2}2$, $f$ tiene un mínimo local en a$x_0$, por lo que debemos tener $Tf(x_0)\geq 0$; pero desde $f'(x_0)=0$$f''(x_0)=1$, también tenemos $Tf(x_0)=a(x_0)\times 0+b(x_0)\times 1=b(x_0)$, y, por tanto,$b(x_0)\geq 0$. Desde $x_0$ es arbitrario en $(0,1)$, podemos concluir que $b$ está en todas partes nonegative en $(0,1)$, y de ahí en $[0,1]$ por la continuidad.
En total, la prueba está completa.
