Información cuántica: Algoritmo German-Jozsa

Question

Hay un paso en la construcción de este algoritmo que no estoy entendiendo:

$\displaystyle \left[\sum_x \frac{| x \rangle}{\sqrt{2^n}}\right]\left[\frac{ | 0 \rangle -| 1 \rangle }{\sqrt{2}} \oplus | f(x) \rangle\right]=\sum_x \frac{(-1)^{f(x)} | x \rangle }{\sqrt{2^n}}\left(\frac{| 0 \rangle - |1 \rangle}{\sqrt{2}}\right)$

donde $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ .

No veo cómo son iguales, y creo que parte de mi confusión está en cómo $\oplus$ trabajar para $2$ -qubits. $\oplus$ indica adición $\!\!\!\!\mod 2$ ... entonces, ¿funciona en cada elemento por separado?

Answer 1

La mejor forma de escribir el paso en cuestión es $$\frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}} \sum_x|x\rangle\left(|f(x)\rangle - |1 \oplus f(x) \rangle \right) = \frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}} \sum_x(-1)^{f(x)}|x\rangle \left(|0\rangle - |1\rangle \right).$$ $f(x)$ es igual a $0$ o $1$ . Si $f(x)=0$ entonces $$|f(x)\rangle - |1 \oplus f(x) \rangle=|0\rangle - |1\oplus 0 \rangle = |0\rangle - |1 \rangle.$$ Si $f(x)=1$ entonces $$|f(x)\rangle - |1 \oplus f(x) \rangle=|1\rangle - |1\oplus 1 \rangle = |1\rangle - |0 \rangle = (-1)\left(|0\rangle - |1 \rangle\right).$$ Así que.., $(-1)^{f(x)}\left(|0\rangle - |1 \rangle\right)$ es otra forma de escribir $|f(x)\rangle - |1 \oplus f(x) \rangle$ .