La respuesta depende de la norma.
Si utilizamos $\lVert v\rVert_1 = \sum_{k = 1}^n \lvert v_k\rvert$, la igualdad se convierte en
$$\sum_{k = 1}^n \biggl\lvert \int_0^1 f_k(x)\,dx\biggr\rvert = \int_0^1 \sum_{k = 1}^n \lvert f_k(x)\rvert\,dx = \sum_{k = 1}^n \int_0^1 \lvert f_k(x)\rvert\,dx.\tag{1}$$
Puesto que para cada $k$ la desigualdad
$$\biggl\lvert \int_0^1 f_k(x)\,dx\biggr\rvert \leqslant \int_0^1 \lvert f_k(x)\rvert\,dx\tag{2}$$
sostiene, tenemos igualdad en $(1)$ si y sólo si tenemos la igualdad en $(2)$ por cada $k$, es decir, si ninguno de los componentes de $f$ cambia de signo.
Si utilizamos $\lVert v\rVert_{\infty} = \max \{ \lvert v_k\rvert : 1 \leqslant k \leqslant n\}$, la igualdad se convierte en
$$\max \left\{ \biggl\lvert \int_0^1 f_k(x)\,dx\biggr\rvert : 1 \leqslant k \leqslant n\right\} = \int_0^1 \max \left\{ \lvert f_k(x)\rvert : 1 \leqslant k \leqslant n\right\}\,dx. \tag{3}$$
Si nosotros, a continuación, elija un $m$ tal que
$$\biggl\lvert \int_0^1 f_m(x)\,dx\biggr\rvert = \max \left\{ \biggl\lvert \int_0^1 f_k(x)\,dx\biggr\rvert : 1 \leqslant k \leqslant n\right\},$$
vemos que debemos tener
$$\biggl\lvert \int_0^1 f_m(x)\,dx\biggr\rvert = \int_0^1 \lvert f_m(x)\rvert\,dx = \int_0^1 \max \left\{ \lvert f_k(x)\rvert : 1 \leqslant k \leqslant n\right\}\,dx,$$
lo que implica que $f_m$ no cambia de signo, y $\lvert f_k(x)\rvert \leqslant \lvert f_m(x)\rvert$ todos los $x\in [0,1]$ y todos los $k$ (vamos a llamar a que un componente dominante de $f$). Así que debe haber al menos un componente dominante de $f$ que no cambia de signo. Por el contrario, se verifica que si $f$ tiene un componente dominante que no cambia de signo, entonces
$$\biggl\lVert\int_0^1 f(x)\,dx\biggr\rVert_{\infty} = \int_0^1 \lVert f(x)\rVert_{\infty}\,dx.$$
A pesar de la respuesta en función de la norma, no es un enfoque unificado para encontrar el conjunto de funciones con la propiedad deseada.
En primer lugar, tratamos el caso trivial. Si $\int_0^1 f(x)\,dx = 0$, entonces la igualdad ocurre si, y sólo si $f\equiv 0$. Que sigue fácilmente de la continuidad y positivo de la definición de la norma.
Así que podemos asumir que
$$I := \int_0^1 f(x)\,dx$$
no es $0$ y la igualdad se mantiene. Ahora invocamos una gran teorema (Hahn-Banach) tomar nota de que hay un $\lambda \in (\mathbb{R}^n,\lVert\,\cdot\,\rVert)'$$\lVert \lambda\rVert = 1$$\lambda(I) = \lVert I\rVert$.
Entonces tenemos
\begin{align}
\int_0^1 \lVert f(x)\rVert\,dx &= \biggl\lVert \int_0^1 f(x)\,dx\biggr\rVert \tag{assumption}\\
&= \lambda\Biggl(\int_0^1 f(x)\,dx\Biggr)\\
&= \int_0^1 \lambda\bigl(f(x)\bigr)\,dx \tag{linearity of integral}\\
&\leqslant \int_0^1 \bigl\lvert \lambda\bigl(f(x)\bigr)\bigr\rvert\,dx\\
&\leqslant \int_0^1\lVert\lambda\rVert\cdot \lVert f(x)\rVert\,dx\\
&= \int_0^1 \lVert f(x)\rVert\,dx.
\end{align}
Desde el exterior términos de la cadena de desigualdades son el mismo, debemos tener igualdad en todas partes, y por lo tanto
$$\lambda\bigl(f(x)\bigr) = \lVert f(x)\rVert\tag{4}$$
para todos los $x\in [0,1]$. Por el contrario, si $4$ mantiene para algunos $\lambda$$\lVert \lambda\rVert = 1$, luego tenemos a la igualdad de $\lVert I\rVert = \int_0^1 \lVert f(x)\rVert\,dx$.
Esto también funciona para $f\equiv 0$, y que podemos resumir:
$$\biggl\lVert\int_0^1 f(x)\,dx\biggr\rVert = \int_0^1 \lVert f(x)\rVert\,dx$$
si y solo si hay un $\lambda \in (\mathbb{R}^n,\lVert\,\cdot\,\rVert)'$ $\lVert\lambda\rVert = 1$ tal que para todos los $x\in [0,1]$ tenemos $f(x) \in C(\lambda)$ donde $C(\lambda)$ es el cono
$$C(\lambda) = \{ v\in \mathbb{R}^n : \lambda(v) = \lVert v\rVert\}.$$
Si la norma es una $\ell^p$-norma, $\lVert v\rVert = \left(\sum_{k = 1}^n \lvert v_k\rvert^p\right)^{1/p}$ algunos $1 < p < \infty$, los conos $C(\lambda)$ son fáciles de describir.
En particular, la distancia Euclídea caso - $p = 2$ - debe ahora no suponen un gran problema.
