Prueba $x=y$ , dado $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sin y}+\frac{1}{\sin(y+\alpha)}$

Question

Dado $x,y\in(0,\frac{\pi}{2}]$ , $\alpha>0$ es una constante que satisface $0<x+y+\alpha<\pi$ ,

También se sabe que

$$\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sin y}+\frac{1}{\sin(y+\alpha)}$$

¿Cómo podemos demostrar $x=y$ ¿"elegantemente"? Estoy atascado en este problema desde hace varios días. Por favor, ayuda.

Answer 1

Poner $x=x+\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}$ para conseguir $$\sin(x)=\sin(x+\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})-\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(x+\frac{\alpha}{2})$$ y poner $x+\alpha=x+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}$ para conseguir $$\sin(x+\alpha)=\sin(x+\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})+\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(x+\frac{\alpha}{2})$$

Ahora con $u=\sin(x+\frac{\alpha}{2})$ que tenemos:

$$\frac{1}{\sin(x)}+\frac{1}{\sin(x+\alpha)}=2\cos(\frac{\alpha}{2})\frac{u}{u^2-(\sin(\frac{\alpha}{2}))^2}$$

Haz lo mismo con la otra expresión con $v=\sin(y+\frac{\alpha}{2})$ . Se consigue fácilmente $u=v$ o $uv=-(\sin(\frac{\alpha}{2}))^2$ y es fácil, utilizando $x+y+\alpha<\pi$ para terminar.

Answer 2

$$\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sin y}+\frac{1}{\sin(y+\alpha)}$$ o, $$\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\sin y}=\frac{1}{\sin(y+\alpha)}-\frac{1}{\sin(x+\alpha)}$$ o, $$\frac{\sin y-\sin x}{\sin x \sin y}=\frac{\sin(x+\alpha)-\sin(y+\alpha)}{\sin(y+\alpha)\sin(x+\alpha)}$$ o, $$-\frac{2\cos(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})}{\sin x \sin y}=\frac{2\cos(\frac{x+y}{2}+\alpha)\sin(\frac{x-y}{2})}{\sin(y+\alpha)\sin(x+\alpha)}$$ o, $$2\sin(\frac{x-y}{2})\left(\frac{\cos(\frac{x+y}{2})}{\sin x \sin y}+\frac{\cos(\frac{x+y}{2}+\alpha)}{\sin(y+\alpha)\sin(x+\alpha)}\right)=0$$ Es muy fácil decir $x=y$ desde aquí. Espero que puedas hacer este último paso.