¿Existe el límite de esta doble secuencia?

Question

Considere $$a_{mn}=\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}\left(1-\cos\left(\frac{1}{m}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)$$

Hace $\lim_{m,n\to\infty}a_{mn}$ ¿Existe?

Se puede ver que $$\lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty}a_{mn}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{m\to\infty}a_{mn}\right)=\frac{1}{2}$$

Sin embargo, sigo sin poder determinar si el límite existe o no. ¿Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

La respuesta es que el límite existe.

Reescribe esto usando $u = \frac{1}{m}$ y $v = \frac{1}{n}$ como $$ a(u,v) = \frac{1}{u^2+v^2} \left( 1 - \cos(u) \cos(v) \right) $$

Ahora buscamos el límite como $u$ y $v$ se acercan a cero. El límite existirá si y sólo si existen límites a lo largo de todas las líneas rectas que pasan por el origen y estos límites son todos del mismo valor.

Así que escribe $u = rv$ y definir $$ L(r) \equiv \lim_{v\to 0} a(rv,v) $$

El límite existe si y sólo si para todo $r$ , $L(r)$ existe, y para $\forall r_1, r_2: L(r_1) = L(r_2)$ y $L(0) = \lim_{u\to 0} a(u,0)$ . Su trabajo muestra este tercer punto, y de hecho $L(r)$ siempre existe, así que la clave es ver si $L(r)$ es independiente de $r$ .

$$ L(r)=\lim_{v \to 0} \frac{1}{v^2r^2+v^2} \left(1-\cos(rv)\cos(v)\right)\\= \lim_{v \to 0} \frac{1}{v^2} \frac{1}{1+r^2} \left( 1 - (1 - r^2v^2/2 +O(v^4) ) (1 - v^2/2 +O(v^4) )\right)\\ = \frac{1}{1+r^2}\frac{1}{2}(r^2+1)=\frac{1}{2} $$ Esto es independiente de $r$ y coincide con el valor necesario para que el límite exista y sea $\frac{1}{2}$ .

Answer 2

Tenemos

\begin{align}a_{mn} &= \frac{m^2n^2}{m^2 + n^2}\left(1 - \left(1 + \frac{1}{2m^2} + O\left(\frac{1}{m^4}\right)\right)\left(1 + \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)\right)\right)\\ &=\frac{m^2n^2}{m^2 + n^2}\left(1 - \left(1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{2n^2}\right) + O\left(\frac{1}{m^4n^4}\right)\right)\right)\\ &= \frac{m^2n^2}{m^2 + n^2}\left(\frac{1}{2}\frac{m^2 + n^2}{m^2 n^2} + O\left(\frac{1}{m^4n^4}\right)\right)\\ &= \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{m^2n^2(m^2 + n^2)}\right)\\ &= \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{m^3n^3}\right),\quad \text{as $m,n \to \infty$} \end{align}

Por lo tanto, hay un número entero positivo $k$ y una constante $C > 0$ tal que $|a_{mn} - \frac{1}{2}| < \frac{C}{m^3n^3}$ para todos $m, n \ge k$ . Dado $\varepsilon > 0$ , elija $N > \max\{N, (\frac{C}{\varepsilon})^{1/6}\}$ . Entonces $|a_{mn} - \frac{1}{2}| < \varepsilon$ para todos $m, n \ge N$ . Por lo tanto, $\lim_{m,n\to \infty} a_{mn}$ existe y es igual a $1/2$ .