Prueba de que un número grande es mayor que otro gran número

Question

Que $a = (10^n - 1)^{(10^n)}$ y $b=(10^n)^{(10^n - 1)}$

¿Cuál de estos números es mayor que n crece?

Creo que es $a$ después de mirar algunos casos especiales más pequeñas, pero no sé cómo probarlo.

Answer 1

Dividir

Answer 2

Dado que el logaritmo es monótono, se puede tomar la diferencia de los registros: $\log a - b \log = 10 ^ n \log(10^n-1)-(10^n-1)\log 10 ^ n\\ = 10 ^ n (\log(10^n) + \log(1-\frac 1{10^n})-\left (n (10 ^ n-1) \log 10\right) \\ \approx n10 ^ n\log 10-1-n10 ^ n\log (10) + n\log (10) \\ = n\log 10-1 \gt 0$ $

Answer 3

Say $x={ 10 }^{ n }\\$ $$\frac { { \left( x-1 \right) }^{ x } }{ { x }^{ x-1 } } =x{ \left( \frac { x-1 }{ x } \right) }^{ x }=x{ \left( 1-\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x }\\ \lim _{ x\rightarrow \infty }{ x{ \left( 1-\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x } } =\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { x }{ e } } =\infty $$

Según el cálculo en Wolframalpha para cualquier $x > 3.2932$, $$(x-1)^{ x }>x^{x-1}$ $

Answer 4

Let $x=10^n$, $y=10^n-1$. Aumenta la función $\frac {x} {\ln x}$ $e$.

Ambos $x$ y $y$ están mayores que $e$, lo $\frac {x} {\ln x} > \frac {y} {\ln y} \Rightarrow x\ln y > y\ln x \Rightarrow y ^ x > x ^ y$