Regla de la cadena para derivadas parciales intuición

Question

Alguien me puede dar una explicación intuitiva para las ecuaciones anteriores. No sé cómo surge y cómo puede percibirse lógicamente.

$$\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} \ \ \text{and} \ \ \frac{\partial z}{\partial t} =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} $$

Answer 1

Supongamos por simplicidad que $z = f(x,y)$ $x,y$ son funciones de la $s$. Las derivadas parciales de $z$ da una aproximación de primer orden para $z$: $$ f(x+\Delta x,y+\Delta y) \approx f(x,y) + \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \Delta y. $$ El error de esta aproximación debe ser "pequeño", dice $o(\Delta x+\Delta y)$ (si no sabes lo que esto significa, no es importante). Del mismo modo, $$ x(s+\Delta s) \aprox x(s) + \frac{\partial x}{\partial s}(s) \Delta s, \quad y(s+\Delta s) \aprox y(s) + \frac{\partial y}{\partial s}(s) \Delta s. $$ Finalmente, $\frac{\partial f}{\partial s}$ satisface $$ f(x(s+\Delta s),y(s+\Delta s)) \aprox f(x(s),y(s)) + \frac{\partial f(x,y)}{\partial s}(s) \Delta s. $$ Ahora podemos probar la fórmula: $$ \begin{align*} f(x(s+\Delta s),y(s+\Delta s)) &\approx f(x(s) + \frac{\partial x}{\partial s}(s) \Delta s, y(s) + \frac{\partial y}{\partial s}(s) \Delta s) \\ &\approx f(x(s),y(s)) + \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \frac{\partial x}{\partial s}(s) \Delta s + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \frac{\partial y}{\partial s}(s) \Delta s. \end{align*} $$

Answer 2

De acuerdo a la regla de la cadena $$(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0))f'(x_0)$$

La matriz de la composición de dos funciones lineales es el producto de sus respectivas matrices. Por lo tanto la matriz de $(g \circ f)'(x_0)$ $d_{x_0}(g \circ f)$ es

$$\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial s} \\\frac{\partial y}{\partial t}\end{pmatrix} $$

Para ilustrar, supongamos $f$ $g$ están dadas por

$$w = g(x,y,z), \ \ x = f_1 (s,t), \ \ y = f_2(s,t), \ \ z = f_3(s,t) $$

Luego, por la regla de la cadena

$$\begin{pmatrix}\frac{\partial w}{\partial s} & \frac{\partial w}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}& \frac{\partial g}{\partial z}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t}\\\frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t}\end{pmatrix} $$

Que los rendimientos de

$$\begin{align}\frac{\partial w}{\partial s} &= \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+ \frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}+ \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s}\\\frac{\partial w}{\partial t} &=\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+ \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} \end{align}$$

*Nota: Tomar un vistazo de cerca a las matrices de transformación y Jacobina de Matrices y esto también puede ayudar.

Answer 3

\begin{align} z(s + \Delta s, t) &= f(x(s + \Delta s, t),y(s + \Delta s, t)) \& \approx f \left(x(s,t) + \frac{\partial x(s,t)}{\partial s} \Delta s,y(s,t) + \frac{\partial y(s,t)}{\partial s} \Delta s \right) \ \tag{%#%#%}&\approx f(x(s,t),y(s,t)) + \frac{\partial f(x(s,t),y(s,t))}{\partial x} \frac{\partial x(s,t)}{\partial s} \Delta s \& \qquad \qquad \qquad \quad+ \frac{\partial f(x(s,t),y(s,t))}{\partial y}\frac{\partial y(s,t)}{\partial s} \Delta s. \end {Alinee el}

Comparando esto con\begin{equation} z(s + \Delta s, t) \approx z(s,t) + \frac{\partial z(s,t)}{\partial s} \Delta s \end{equation} descubrimos que\begin{equation} \frac{\partial z(s,t)}{\partial s} = \frac{\partial f(x(s,t),y(s,t))}{\partial x} \frac{\partial x(s,t)}{\partial s} + \frac{\partial f(x(s,t),y(s,t))}{\partial y}\frac{\partial y(s,t)}{\partial s} . \end{equation}

El paso clave es en línea ($\spadesuit$), donde utilizamos la aproximación\begin{equation} f(x + \Delta x, y + \Delta y) \approx f(x,y) + \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}{\Delta y}. \end{equation}

Answer 4

Acaba de ser conscientes de que el $\partial f$ $\frac{\partial f}{\partial x}$ es diferente de (e independiente) de la $\partial f$$\frac{\partial f}{\partial y}$. Pensar en el ex - $\partial f$ como un cambio en $f$ debido a un cambio en $x$, y la segunda como un cambio en $f$ debido a un cambio en $y$. Debido a un cambio en $s$ provoca una variación en $y$ y una variación en $x$, tenemos que añadir el cambio en $f$ debido a un cambio en $x$ (que a su vez fue causado por un cambio en $s$) a la variación en $f$ debido a un cambio en $y$ (que a su vez fue causado por un cambio en $s$). Si usted necesita más aclaraciones, vuelva a leer mi primera frase.