Dos circunferencias tangentes inscritas en un rectángulo (Calcular el área)

Question

Consideremos dos círculos con un diámetro igual a $a$ , externamente tangentes entre sí, y cuyos centros están a la misma altura. Estos círculos están inscritos en un rectángulo de longitud $2a$ y la altura $a$ . Este es un boceto que hice para este problema (por favor, perdonen mi letra inestable):

Me piden que calcule el área sombreada. Puedo hacerlo utilizando:

• Simetría. Esta es la forma más fácil en mi opinión, ya que conocemos el área de cada círculo ( $\pi a^2/4$ ) y el área del rectángulo ( $2a^2$ ), que nos da: $\boxed{A_{\text{shaded}}=\dfrac{4-\pi}{4} a^2}$
• Funciones matemáticas. Podemos fijar el origen en la esquina inferior izquierda, calcular cada una de las funciones analíticas de los círculos (así como la de la recta), calcular las intersecciones y hacer uso de las integrales definidas para calcular el área final. Se obtendrá exactamente el mismo resultado que el anterior, aunque el proceso para conseguirlo sería mucho más largo.

Sin embargo, no me interesa ninguno de estos 2 métodos (ya que parecen bastante fáciles). Me interesa encontrar una forma geométrica pura de resolverlo. Sin funciones. Sin simetría como la que usé arriba. Sino relaciones geométricas puras.

Pensé en dibujar algunas líneas desde el centro de cada círculo hasta cada intersección, así:

Esto nos daría 4 áreas que esperamos sean fáciles de resolver ( $S_1$ , $S_1^{\prime\prime}$ y y y $S_2$ , $S_2^{\prime\prime}$ ). Por supuesto, $S_1=S_1^{\prime\prime}$ y y y $S_2=S_2^{\prime\prime}$ pero como he dicho, No quiero hacer uso de la simetría (Soy un poco masoquista después de todo). Así que pensé en este esquema de solución:

1. $A_{\text{shaded}}=\frac12A_{\text{rectangle}}-S_2-(A_{\text{circle}}-S_2^{\prime\prime})$
2. $A_{\text{sector}}=S_1+S_2$
3. Desde $S_1$ es un triángulo, podríamos utilizar algunas relaciones trigonométricas en él para resolver $S_1$ y como se conoce el área de un sector circular, podemos resolver $S_2$ (y $S_2^{\prime\prime}$ y muy inocentemente encontrar que en realidad $S_2=S_2^{\prime\prime}$ )

El principal problema que tengo es que no conozco el ángulo interior de los sectores del círculo, debido a los puntos de intersección (aparentemente colocados al azar) cerca de los bordes del rectángulo.

SI SOLO Si fuera capaz de localizar esos puntos de intersección utilizando trigonometría pura y relaciones/teoremas geométricos, el problema podría resolverse.

¿Algún consejo o idea?

PD: Por favor, no cuestionen mi (tonta) decisión de no hacer uso de la simetría. Quiero tomar este problema como un reto personal. Evidentemente, si esto se resolviera rápidamente no me rascaría mucho la cabeza y optaría por la solución fácil.

Answer 1

Desde la esquina inferior izquierda del rectángulo (llamemos a ese punto $A$ ), considere la línea diagonal como una línea secante del círculo de la izquierda, que interseca el círculo en los puntos $B$ y y y $C$ , donde $B$ está entre $A$ y y y $C$ . Considera también una de las aristas del rectángulo adyacente a $A$ como una línea tangente que toca el círculo en $D$ .

Entonces, por un teorema sobre las rectas tangentes y secantes desde un punto exterior a una circunferencia, tenemos la siguiente relación de las longitudes de los segmentos desde $A$ a cada uno de los tres puntos $B$ , $C$ y $D$ : $$ (AD)^2 = AB \times AC. \tag1 $$

Es fácil encontrar que $AD = \frac12a$ . Ahora dejemos que $E$ sea el punto medio del lado inferior del rectángulo; entonces $AC$ es la hipotenusa del triángulo rectángulo $\triangle AEC$ , que tiene patas $a$ y y y $\frac12a$ y por lo tanto $AC = (\frac12\sqrt5)a$ .

Podemos entonces utilizar la ecuación $(1)$ para encontrar la longitud $AB$ , por lo que podemos encontrar la longitud de la cuerda $BC$ a partir de esta cuerda y del el radio del círculo podemos obtener el ángulo de $S_1$ en el centro del círculo.

Answer 2

No sé si esto es lo que quieres pero.

El triángulo marcado $S_1$ es un triángulo isósceles con ángulo de base $= \tan^{-1} \frac 12$ ,
Esto hace que el ángulo del vértice (v) sea igual a $v = \pi - 2\tan^{-1} \frac 12$ Lo que significa que $A_{sector} = S_1 + S_2 = \frac 12(\frac a2)^2 (\pi - 2\tan^{-1} \frac 12)$

$A_{S_1} = $$ (\frac a2)^2 \frac 12 \frac v\\f (\frac a2)^2 \sin (2\tan^{-1} \frac 12)\\f (\frac a2)^2 2 \frac 1{qrt5} \frac 2{qrt5}\frac a^2 \frac 15$

Answer 3

¿Está bien la geometría analítica?

Toma el centro del rectángulo como origen. Los dos círculos tienen las ecuaciones

$$(x \pm (a/2))^2 + y^2 = a^2/4.$$

La diagonal tiene la ecuación

$$2x=y.$$

Si resolvemos esto, obtendremos los cuatro puntos de intersección.

Para obtener los ángulos centrales se puede utilizar la Ley de los Senos después de encontrar la longitud de las cuerdas.

Answer 4

Creo que se puede considerar el área del rectángulo completo 2a^2 restando las áreas de dos círculos y luego devidiendo el resultado por 2.

Answer 5

José Pérez Puedes encontrar el ángulo entre la diagonal y la longitud utilizando x=inv.tan (2R/4R)

Es igual al ángulo del triángulo s1 (ángulos alternos). Y ahí tienes, el ángulo del sector s 180-2x.