Construcción del árbol de especial $\omega_1$-Aronszajn

Question

Problema de Kunen II.40:

La definición es la siguiente: $\omega_1$- Aronszajn árbol de $T$ llamado especial fib $T$ es la unión de $\omega$ antichains.

Necesita demostrar que $T$ es especial fib hay un mapa de $f: T \rightarrow \mathbb{Q}$ tal que para $x,y \in T, x < y \rightarrow f(x) < f(y)$, y muestran que un especial de Aronszajn árbol de existir.

La sugerencia es para la construcción de $T$ $f$ simultáneamente por inducción.

Me parece que debería de alguna manera "pack" de la antichains (clases de equivalencia?), para lograr un mapa de una "gran" árbol a un conjunto relativamente pequeño. No podía avanzar cualquier furher que eso, sin embargo.

Alguna ayuda?

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos $T$ es una contables de la unión de antichains. Vamos a construir un mapa $g: T\to 2^\omega$, de modo que el rango de $g$ es contable y es estrictamente creciente (con respecto a la ordenación lexicográfica en $2^\omega$). Elija una función de $f: T\to \omega$, de modo que $f^{-1}(n)$ es un antichain para todos los $n$. Para $t\in T$, definir $g(t)=x$: $x(n)=1$ si y sólo si $n\leq f(t)$$\{ s\in T: s\leq t\}\cap f^{-1}(n)\ne\varnothing$. Es fácil comprobar que $g$ es requerido.

Para la construcción de un especial de Un árbol. Considerar el subárbol de Un árbol construido en Kunen del libro, que consta de nodos de sucesores de altura.