Me encontré con esta pregunta cuando yo estaba estudiando para mi parcial de álgebra abstracta.
Muestran que el subgrupo $H$ de rotaciones es normal en el grupo diedro $D_n$. Encontrar el cociente grupo $D_n/H$.
No estoy muy seguro de dónde empezar. Sé que para un grupo diedro de $n\geq 3$, entonces el $r^n=1$% #% siendo una rotación y $r$ donde $s^2=1$ es una reflexión y $s$ #%. No estaba seguro de cómo probar que algo es un subgrupo normal de aquí. ¡Cualquier Consejo, gracias!
El índice de $2$ sugerencia obras, pero también puede mostrar directamente. Uno puede comprobar que los generadores $R$ $F$ de los diedros grupo de ajustarse a la regla de $RF = FR^{-1}$. A partir de esto, podemos ver que cualquier elemento en $D_n$ puede ser escrito como $R^jF^k$ donde$0 \leq j \leq n-1$$0 \leq k \leq 1$.
Un subgrupo $N \leq G$ es normal siempre que, dado cualquier $n \in N$$g \in G$,$gng^{-1} \in N$. En este caso, cualquier elemento de la rotación de los subgrupos se parece a $R^m$$1 \leq m \leq n-1$. Teniendo en cuenta cualquier elemento $R^jF^k$$D_n$, sólo tenemos que mostrar que $(R^jF^k)R^m(R^jF^k)^{-1} \in \langle R \rangle$. Claramente esto es cierto si $k=0$, por lo que asumen $k=1$. Ahora mira a la ayuda de la regla en el primer párrafo a la conclusión de que este es de hecho un elemento de $\langle R \rangle$.
Si tiene de $D_n=\langle r,s\mid r^n=s^2=1,srs=r^{-1}\rangle$, entonces el $D_n$ $2n$ de la orden y el grupo generado por $r$ $n$ de la orden.
Por lo tanto, el índice de $\langle r\rangle$ $D_n$ es igual a dos, y es un hecho general de que si un subgrupo con $H\leq G$ $[G:H]=2$ entonces $H$ es un subgrupo normal de $G$.
¿Cuántas rotaciones están ahí, y ¿cómo este en comparación con el número total de elementos? Usted puede han demostrado como un ejercicio previamente que un subgrupo de índice $2$ es normal. Que es pertinente aquí. Si no, debe probarlo, porque usando este hecho es la forma más fácil de ver para solucionar su problema.
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