Para responder a la pregunta del título : si, hace tiempo exacto secuencias pueden ser derivadas a partir de la degeneración de algunos espectral de las secuencias. De hecho, hay varios espectral de las secuencias que conduce a la largo de la secuencia exacta. Voy a explicar en detalle dos de ellos, porque el punto de vista es muy diferente.
Así que vamos a empezar con la construcción. El complejo de $A\rightarrow B\rightarrow C$ es acíclico y así es su complejo total. Por lo tanto, el espectro de secuencias asociadas a este complejo convergen a ... $0$. Pero vamos a echar un vistazo a lo que está pasando. El hecho de que el espectro de la secuencia converge a cero da algunas informaciones. De hecho, hay dos espectral de las secuencias. Uno es completamente interesante porque $E_1=0$. El otro ha $E_1$ página :
$$\requieren{AMScd}\begin{CD}
... @.\\
H^1(A)@>i_*>> H^1(B)@>p_*>> H^1(C)\\
@.@.@.\\
H^0(A)@>i_*>> H^0(B)@>p_*>> H^0(C)\\
... @.
\end{CD}$$
En primer lugar, el único diferencial en el $E_2$ página de enlace de la homología en $H^{k+1}(A)$ a la homología en $H^k(C)$. En otras palabras, no habrá cero diferencial de y objeto de la segunda columna. Esto significa que todo en la segunda columna debe desaparecer en $E_2$, por lo que las secuencias anteriores son exactas a las $H^k(B)$.
Ahora el $E_2$-página parece
$$\begin{CD}
...\\
\ker i_*@. 0@. \operatorname{coker}p_*\\
@.@.@.\\
\ker i_*@. 0@. \operatorname{coker}p_*\\
...
\end{CD}$$
con un diferencial de $\ker i_*$ $\operatorname{coker} p_*$(una fila de abajo). Ya que esta será la última diferencial, entonces este debe ser un isomorfismo. En otras palabras, hay isomophism $u:\ker i_*\overset\sim\rightarrow H^k(C)/\operatorname{im}p_*$.
A continuación, el mapa de $\partial:H^k(C)\rightarrow H^k(C)/\operatorname{im}p_*\overset{u^{-1}}\rightarrow\ker i_*\rightarrow H^{k+1}(A)$ es el límite del mapa, y a partir de su definición, es claro que induce a la largo de la secuencia exacta en cohomology.
Aquí es otra construcción/punto de vista. De hecho, espectral de secuencias (y mucho exacta secuencias) se utilizan para calcular el cohomology de una complicada objeto de la cohomology de las más simples. En este sentido, os sugiero buscar en las siguientes construcciones :
Considere la secuencia exacta corta
$$ 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$$
como a 2 pasos de la filtración del objeto $B$. Es decir,$F^0=B, F^1=A, F^2=0$. El graduado de piezas se $\operatorname{Gr}^0=C$$\operatorname{Gr}^1=A$. Ahora existe una secuencia espectral
$$ E_0^{p,q}=\operatorname{Gr}^p B^{p+q}=F^pB^{p+q}/F^{p+1}B^{p+q}\Rightarrow H^{p+q}(B)$$
que, de hecho, calcular el cohomology del objeto $B$ desde el cohomology de las "más simples" $A$$B$. El $E_0$ página de aspecto
$$
\begin{CD}
@AAA@. @AAA\\
@.C^1 @.@. A^2\\
@AAA@. @AAA \\
@.C^0@. @. A^1\\
@AAA@. @AAA
\end{CD} $$
donde las flechas verticales son el diferencial de los complejos. Por lo tanto el $E_1$ página de aspecto
$$\begin{CD}
@. ...\\
H^1(C)@>>> H^2(A)\\
@.@.\\
H^0(C)@>>> H^1(A)\\
@. ...
\end{CD}$$
donde el diferencial son el límite de la larga secuencia exacta (esto es claro a partir de la construcción de la secuencia espectral asociada a un filtrado complejo).
Así que, finalmente, el $E_2$ página de aspecto
$$\begin{CD}
@. ...\\
\ker\partial^1@. \operatorname{coker}\partial^1\\
@.@.\\
\ker\partial^0@. \operatorname{coker}\partial^0\\
@. ...
\end{CD}$$
y no hay ningún otro diferenciales. El espectro de la secuencia se derrumba y de la construcción, usted sabe que el límite es de $H(B)$, o más precisamente, el graduado de parte de $H(B)$ donde $F^0H(B)=H(B)$, $F^1H(B)=\operatorname{im}(H(A)\rightarrow H(B))$ y $F^2H(B)=0$.
De este modo se obtiene isomorphisms $\operatorname{im}(H^k(A)\rightarrow H^k(B))=\operatorname{coker}\partial^{k-1}$$H^k(B)/\operatorname{im}(H^k(A)\rightarrow H^k(B))=\ker\partial^k$. Este último isomorphisms puede escribirse como
$$ 0\rightarrow H^k(A)/\operatorname{Im}\partial^{k-1}\rightarrow H^k(B)\rightarrow \ker\partial^k\rightarrow 0$$
por lo que poner todos estos cortos exacta de secuencias (al $k$ varía), obtenemos el largo de la secuencia exacta.
Aquí es otra construcción con el mismo punto de vista como antes. Considere la posibilidad de la doble complejo $A\rightarrow B$ ($B$ en el grado 0). Su complejo total es entonces cuasi-isomorfo a $C$. En esta situación, $C$ desempeña el papel de la complicada objeto, y queremos calcular su cohomology de algunas partes simples, aquí $A$$B$. Y, de hecho, hay una secuencia espectral (de hecho 2!) para el doble compleja $A\rightarrow B$. No escribo los detalles, pero uno de ellos se degenera en$E_2$, y (casi) el mismo argumento como antes da el largo de la secuencia exacta.
Por supuesto, también puede utilizar el doble de complejo de $B\rightarrow C$ cuyo complejo total que es cuasi-isomorfo a $A$.
