Ejemplos de juguetes para las extensiones de Kan

Question

Antecedentes: Si $\mathcal{C}$ es una categoría cocompleta y $f : I \to J$ es un functor entre categorías pequeñas, entonces $f^* : \mathrm{Hom}(J,\mathcal{C}) \to \mathrm{Hom}(I,\mathcal{C})$ tiene un adjunto izquierdo $\mathrm{Lan}(f)$ , la extensión del Kan izquierdo a lo largo de $f$ . Se puede expresar como la siguiente coenda: $$\mathrm{Lan}(f)(F) = \int^i \hom(f(i),-) \otimes F(i).$$

¿Cuáles son algunos ejemplos de juguete para las extensiones Kan de izquierda? Sé que las extensiones Kan izquierdas son generalizaciones de los colimits, que son útiles para construir funtores pullback de presheaves y la definición de funtores derivados izquierdos en el contexto de las categorías modelo así como del álgebra homológica. Pero me gustaría ver algunos ejemplos concretos y fáciles que quizás no sean realmente importantes, pero que muestren lo que ocurre.

He aquí un ejemplo: Considere la inclusión $f : \{0,1\} \hookrightarrow \{0<1\}$ . La extensión Kan izquierda corresponde al functor $\mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$ que asigna un par de objetos $(A,B)$ al morfismo $(A \to A \oplus B)$ .

Yo soy no buscando clases generales de ejemplos bien conocidos (realización geométrica, productos tensoriales, etc.).

Answer 1

(Espero no haber metido la pata en ninguno de ellos) EDIT: Sí que he metido la pata en un par de ellos, el segundo y el tercero, ¡muchas gracias a @JoshuaMeyers por detectar los errores! Han sido corregidos.

• Para $f : B\mathbb{N} \to B\mathbb{Z}$ (donde $BM$ es la categoría de un objeto correspondiente al monoide $M$ ) dado por la inclusión, $\mathrm{Lan}(f)$ envía un endomorfismo $g:X \to X$ al endomorfismo de $Y := \mathrm{colim}(X \xrightarrow{g} X \xrightarrow{g} \cdots)$ que viene dado por $g$ en cada copia de $X$ . Esta es la construcción habitual para "invertir $g$ ".

• Dejemos que $I = \{0 \to 1\}$ . Para $f : I \to B \mathbb{N}$ , el morfismo que escoge del generador de $\mathbb{N}$ , $\mathrm{Lan}(f)$ envía un morfismo $g : X \to Y$ al endomorfismo en $X \sqcup \coprod_\mathbb{N} Y$ cartografía $X$ al primer sumando $Y$ por medio de $g$ y enviando cada sumando $Y$ a la siguiente a través de la identidad.

• Dejemos que $I$ sea como el anterior y $J$ sea la categoría con dos objetos y un isomorfismo único entre ellos. Para la inclusión $f : I \to J$ , de nuevo $\mathrm{Lan}(f)$ envía un morfismo $g: X \to Y$ a la identidad en $Y$ (ignorando $X$ y $g$ ).

• Dejemos que $P = I \coprod_{\{0,1\}} I$ sea el par de flechas paralelas. Para el mapa de pliegues $f : P \to I$ , $\mathrm{Lan}(f)$ envía un par $g, h : X \to Y$ al morfismo canónico $X \to \mathrm{coeq}(g,h)$ (nota: el dominio es $X$ no $Y$ ).

• (Antes de que me regañes por esto, considera que la "propuesta" de una persona es la "familia de ejemplos" de otra). Si $f : C \to D$ es una opfibración, entonces $\mathrm{Lan}(f)$ se calcula tomando colímites sobre las fibras: envía un functor $g : C \to E$ a $d \mapsto \mathrm{colim}(g|_{f^{-1}(d)})$ , donde $f^{-1}(d)$ es una categoría formada por los objetos de $C$ asignación a $d \in D$ y aquellos morfismos entre ellos que mapean a la identidad en $d$ .

Answer 2

Si $J$ es sólo localmente pequeño, la definición de $\mathrm{Lan}(f)(F)$ sigue teniendo sentido aunque $f^\ast$ no es definible sin saltar a un universo mayor. Satisface la propiedad de contigüidad "local": existe una transformación natural $\eta \colon F \to \mathrm{Lan}(f)(F) \circ f$ universal en el sentido de que cualquier $F \to G \circ f$ factores a través de $\eta$ .

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En este marco, es muy útil considerar la extensión Kan izquierda de un functor $F$ a lo largo de la incrustación de Yoneda. Por ejemplo, si se considera el espacio cosimplicial estándar $\Delta^\bullet \colon \boldsymbol\Delta \to \mathsf{Top}$ entonces su extensión Kan izquierda a lo largo de la incrustación de Yoneda es precisamente el functor de realización geométrica $|\!-\!| \colon \hat{\boldsymbol\Delta} \to \mathsf{Top}$ .

Siguiendo con los conjuntos simpliciales, la extensión Kan izquierda de la inclusión completa $i\colon \boldsymbol\Delta \to \mathsf{Cat}$ es el functor de categoría fundamental $\tau_1 \colon \hat{\boldsymbol\Delta} \to \mathsf{Cat}$ (es decir, el functor mapping $X$ a la categoría cuyos objetos son los elementos de $X_0$ y cuyos morfemas son generados libremente por $X_1$ bajo la relación de composición dada por los tres mapas de caras $X_2 \to X_1$ ).

En los dos ejemplos anteriores, $\eta$ es en realidad $\mathrm{id}_F$ (es decir, el triángulo conmutativo laxo es realmente conmutativo) y el functor $\mathrm{Lan}(f)(F)$ admite un adjunto derecho (el funtor singular en el primer caso y el funtor nervio en el segundo). De forma más general, cualquier funtor $F \colon \mathcal I \to \mathcal C$ de una pequeña categoría $\mathcal I$ a una categoría cocompleta $\mathcal C$ admite una extensión del Kan izquierdo $\mathrm{Lan}(\mathfrak h^\mathcal I)(F)$ a lo largo de la incrustación de Yoneda $\mathfrak h^\mathcal I \colon \mathcal I \to \hat{\mathcal I}$ con mapa estructural $\eta = \mathrm{id}_F$ . Además esta extensión de Kan izquierda admite $c \mapsto \hom_{\mathcal C}(F-,c)$ como adjunto derecho.

Answer 3

Aquí hay una que quizás conozcas. Si $f: H \to G$ es un homomorfismo de grupo, entonces $f^*: [G,\mathsf{Vect}] \to [H,\mathsf{Vect}]$ es la restricción de las representaciones del grupo, denotada $\operatorname{Res}_f$ . El adjunto izquierdo $\operatorname{Ind}_f: [H,\mathsf{Vect}] \to [G,\mathsf{Vect}]$ es el representación inducida functor. Si $G$ y $H$ son finitos, entonces $\operatorname{Ind}_f$ también es adjunto a la derecha de $\operatorname{Res}_f$ . Las representaciones inducidas pueden escribirse en una fórmula explícita que en realidad proviene de la fórmula general que das, pero que en cierto modo se siente más concreta.

Answer 4

Si te gustan los conjuntos simpliciales: Tenemos una adjunción

donde

• $\mathrm{inj}$ es el functor que envía $\star$ a $[0]$ y $\mathrm{id}_{\star}$ a $\mathrm{id}_{[0]}$ .
• $\mathrm{pr}$ es el único functor de $\Delta$ a $\mathsf{pt}$ .

Si se toman las extensiones de Kan izquierda/derecha, se obtiene la habitual conjunción cuádruple entre $\mathsf{Sets}$ y $\mathsf{sSets}$ :

También tiene para cada $n\in\mathbb{N}$ un functor $\mathrm{inj}_n\colon\mathsf{pt}\longrightarrow\Delta$ enviando $\star$ a $[n]$ y $\mathrm{id}_{\star}$ a $\mathrm{id}_{[n]}$ . Tomando las extensiones de Kan se obtiene una triple adjunción, donde uno de los funtores (el de precomposición) es $\mathrm{ev}_n$ el functor que envía un conjunto simplicial $X_\bullet$ a $X_n$ .