Convergencia o divergencia de $\sum_{k=1}^{\infty} \left(1-\cos\frac{1}{k}\right)$

Question

¿$$\sum_{k=1}^{\infty} \left(1-\cos\frac{1}{k}\right)$ $ Convergen o divergen?

Answer 1

$1-\cos\left(\frac 1k\right)=\int^{1/k}_0\sin tdt$ por lo tanto, $0\leq 1-\cos\left(\frac 1k\right)\leq \int0^{1/k}tdt=\frac 1{2k^2}$ y podemos concluir ya que $\sum{k\geq 1}\frac 1{k^2}$ es convergente.

Answer 2

Sabemos que $\cos x = 1-\frac{x^2}{2} + o(x^3)$ (esto es $\cos x$ expansión de Taylor cerca de cero), así:

$$1-\cos\left(\frac{1}{k}\right) = 1-\left(1-\frac{\left(\frac{1}{k}\right)^2}{2} + o\left(\frac{1}{k^2}\right) \right)=\frac{\left(\frac{1}{k}\right)^2}{2} + o\left(\frac{1}{k^2}\right)$$

Observe:

$$\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{\left(\frac{1}{k}\right)^2}{2} + o\left(\frac{1}{k^2}\right)}{\frac{1}{k^2}}=\frac{1}{2}$$

Ya que $\sum \frac{1}{k^2}$ converge, desde $\left(1-\cos\left(\frac{1}{k}\right)\right)>0$ % natural todos $k$, concluiremos de la prueba de comparación de límite que $\sum \left(1-\cos\frac{1}{k} \right)$ converge.

Answer 3

Ver la función $$\frac{1+\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x^2}}$$when $\,\,x\to\infty\,\,$ and apply L'Hospital twice...or even once only if you already know $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$